ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 238 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) \( \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \);

б) \( \frac{a}{n} : \frac{a}{n} \);

в) \( \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} \);

г) \( \left( \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \right) : \frac{a}{c} \);

д) \( \frac{m}{n} : \frac{m}{a} \);

е) \( \left( \frac{m}{n} : \frac{m}{a} \right) : \frac{a}{b} \);

а) \( \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{b \cdot c} = \frac{a}{c} \);

б) \( \frac{m}{n} \cdot \frac{a}{n} = \frac{m \cdot n}{n \cdot a} = \frac{m}{a} \);

в) \( \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1 \);

г) \( \frac{a}{b} \cdot bc = \frac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot a} = ac \);

д) \( \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{b} = 1 \);

е) \( \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{a} = \frac{m \cdot m}{n \cdot a} = \frac{b}{n} \);

№ 238

а) \(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\). При умножении дробей перемножают числители и знаменатели: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{b\cdot c}\). В получившейся дроби множитель \(b\) стоит и в числителе, и в знаменателе, значит его можно сократить (то есть разделить числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель \(b\)): \(\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}\). Смысл сокращения здесь в том, что общий множитель не влияет на значение дроби, если убрать его одновременно сверху и снизу.

б) \(\frac{m}{n}:\frac{a}{n}\). Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь: \(\frac{m}{n}:\frac{a}{n}=\frac{m}{n}\cdot\frac{n}{a}\). Дальше снова перемножают числители и знаменатели: \(\frac{m}{n}\cdot\frac{n}{a}=\frac{mn}{na}\). Теперь видно, что множитель \(n\) общий в числителе и знаменателе, поэтому сокращаем: \(\frac{mn}{na}=\frac{m}{a}\). Здесь важно помнить: обращают именно вторую дробь (делитель), а первая остаётся без изменения.

в) \(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}\). Умножаем: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=\frac{ab}{ab}\). В числителе и знаменателе стоит одно и то же произведение \(ab\), поэтому дробь равна единице: \(\frac{ab}{ab}=1\). Можно также увидеть сокращение по шагам: сначала сокращается \(a\) (если \(a\neq 0\)) и \(b\) (если \(b\neq 0\)), в итоге остаётся \(1\).

г) \(\frac{a}{b}\cdot bc\). Здесь \(bc\) можно понимать как дробь \(\frac{bc}{1}\), тогда умножение выполняется так же: \(\frac{a}{b}\cdot bc=\frac{a}{b}\cdot\frac{bc}{1}=\frac{a\cdot bc}{b\cdot 1}=\frac{abc}{b}\). Затем сокращаем общий множитель \(b\) в числителе и знаменателе: \(\frac{abc}{b}=ac\). То есть фактически \(c\) «остаётся», а \(b\) сокращается, потому что деление на \(b\) в дроби компенсируется умножением на \(b\) в произведении \(bc\).

д) \(\left(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\right):\frac{a}{c}\). Сначала вычисляют выражение в скобках: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}=\frac{ab}{bc}\). Дальше деление на дробь заменяем умножением на обратную: \(\frac{ab}{bc}:\frac{a}{c}=\frac{ab}{bc}\cdot\frac{c}{a}\). Перемножаем: \(\frac{ab}{bc}\cdot\frac{c}{a}=\frac{ab\cdot c}{bc\cdot a}=\frac{abc}{bca}\). В числителе и знаменателе одно и то же произведение \(abc\), значит \(\frac{abc}{bca}=1\). Здесь удобно видеть, что множители \(a\), \(b\), \(c\) встречаются и сверху, и снизу ровно по одному разу, поэтому всё сокращается полностью.

е) \(\left(\frac{m}{n}:\frac{m}{a}\right):\frac{a}{b}\). Сначала выполняем деление внутри скобок: \(\frac{m}{n}:\frac{m}{a}=\frac{m}{n}\cdot\frac{a}{m}\). Далее делим полученный результат на \(\frac{a}{b}\), то есть умножаем на обратную дробь \(\frac{b}{a}\): \(\left(\frac{m}{n}\cdot\frac{a}{m}\right):\frac{a}{b}=\left(\frac{m}{n}\cdot\frac{a}{m}\right)\cdot\frac{b}{a}\). Теперь перемножаем все числители и знаменатели: \(\frac{m}{n}\cdot\frac{a}{m}\cdot\frac{b}{a}=\frac{mab}{nma}\). В дроби \(\frac{mab}{nma}\) сокращаются одинаковые множители \(m\) и \(a\) (они стоят и в числителе, и в знаменателе), остаётся \(\frac{b}{n}\).