ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 215 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Дано равенство ху = zv. Составьте четыре пропорции, членами которых являются те же числа х, у, z и v.

Дано равенство \(xy=zv\).

1) Разделим левую и правую часть на \(yz\):
получим \( \frac{x}{z}=\frac{v}{y} \).

2) Разделим левую и правую часть на \(vx\):
получим \( \frac{y}{v}=\frac{z}{x} \).

3) Разделим левую и правую часть на \(vy\):
получим \( \frac{x}{v}=\frac{z}{y} \).

4) Разделим левую и правую часть на \(zx\):
получим \( \frac{y}{z}=\frac{v}{x} \).

Дано равенство \(xy=zv\). Это значит, что произведение чисел \(x\) и \(y\) равно произведению чисел \(z\) и \(v\). Из такого равенства произведений можно получить различные пропорции, деля обе части равенства на одни и те же ненулевые выражения. При делении на одно и то же число (или выражение) равенство не нарушается, поэтому полученные дроби будут образовывать верные пропорции. Важно, что делители не могут быть равны нулю, поэтому предполагаем, что \(x\), \(y\), \(z\), \(v\) ненулевые.

1) Начинаем с равенства \(xy=zv\). Чтобы получить первую пропорцию, разделим левую и правую часть равенства на выражение \(yz\). Тогда слева получаем \(\frac{xy}{yz}\), а справа \(\frac{zv}{yz}\). Сократим в каждой дроби общие множители: в левой дроби \(y\) сокращается, остается \(\frac{x}{z}\); в правой дроби \(z\) сокращается, остается \(\frac{v}{y}\). В результате имеем пропорцию \(\frac{x}{z}=\frac{v}{y}\). Так как обе дроби получены из равенства \(xy=zv\) одинаковым делением, эта пропорция верна.

2) Для второй пропорции снова используем исходное равенство \(xy=zv\), но теперь поделим обе части на \(vx\). Слева получаем \(\frac{xy}{vx}\), справа \(\frac{zv}{vx}\). Сократим: в левой дроби \(x\) сокращается, остается \(\frac{y}{v}\); в правой дроби \(v\) сокращается, остается \(\frac{z}{x}\). Получаем пропорцию \(\frac{y}{v}=\frac{z}{x}\). Эта пропорция также верна, так как возникла из исходного равенства путем деления обеих частей на одно и то же ненулевое выражение \(vx\).

3) Для третьей пропорции опять начнем с \(xy=zv\) и разделим обе части равенства на \(vy\). Тогда имеем слева \(\frac{xy}{vy}\) и справа \(\frac{zv}{vy}\). В левой дроби сокращаем \(y\), получаем \(\frac{x}{v}\); в правой дроби сокращаем \(v\), получаем \(\frac{z}{y}\). В итоге выходит новая пропорция \(\frac{x}{v}=\frac{z}{y}\). Она эквивалентна исходному равенству, потому что снова получена допустимым преобразованием: делением на одно и то же ненулевое выражение \(vy\).

4) Для четвертой пропорции используем то же равенство \(xy=zv\), но делим обе части на \(zx\). Тогда слева имеем \(\frac{xy}{zx}\), а справа \(\frac{zv}{zx}\). В первой дроби сокращаем \(x\), получаем \(\frac{y}{z}\); во второй дроби сокращаем \(z\), получаем \(\frac{v}{x}\). В результате образуется пропорция \(\frac{y}{z}=\frac{v}{x}\). Так как она, как и предыдущие, получается из исходного равенства с помощью деления обеих частей на одно и то же ненулевое выражение \(zx\), она также правильная.

Итак, из равенства \(xy=zv\) мы составили четыре верные пропорции, используя только те же числа \(x\), \(y\), \(z\) и \(v\):
1) \(\frac{x}{z}=\frac{v}{y}\)
2) \(\frac{y}{v}=\frac{z}{x}\)
3) \(\frac{x}{v}=\frac{z}{y}\)
4) \(\frac{y}{z}=\frac{v}{x}\).