ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 199 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Отношение, членами которого являются дробные числа, можно заменить отношением целых чисел, если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число. Упростите отношение:
а) \(\frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{4}\);
б) \(1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2} : 1\);
в) \(0,5 : 1 : 1,5\);
г) \(4,5 : 2,7 : 1,8\).

а) \(\frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{4}\).
Умножаем все члены на 4: \( \frac{1}{2}\cdot 4 : \frac{1}{4}\cdot 4 : \frac{1}{4}\cdot 4 = 2 : 1 : 1\).

б) \(1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2} : 1\).
Переводим в неправильные дроби: \( \frac{4}{3} : \frac{3}{2} : 1\). Умножаем на 6: \( \frac{4}{3}\cdot 6 : \frac{3}{2}\cdot 6 : 1\cdot 6 = 8 : 9 : 6\).

в) \(0{,}5 : 1 : 1{,}5\).
Умножаем на 2: \(0{,}5\cdot 2 : 1\cdot 2 : 1{,}5\cdot 2 = 1 : 2 : 3\).

г) \(4{,}5 : 2{,}7 : 1{,}8\).
Умножаем на 10: \(45 : 27 : 18\). Делим все члены на 9: \(5 : 3 : 2\).

а) Рассматриваем отношение \(\frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{4}\). Все члены отношения дробные, поэтому, чтобы упростить его, нужно подобрать такое число, чтобы при умножении все дроби стали целыми. Находим общий знаменатель дробей: у \(\frac{1}{2}\) знаменатель 2, у \(\frac{1}{4}\) знаменатель 4. Общий знаменатель равен 4. Умножаем каждый член отношения на 4: получаем \(\frac{1}{2}\cdot 4 : \frac{1}{4}\cdot 4 : \frac{1}{4}\cdot 4\). Считаем: \(\frac{1}{2}\cdot 4 = 2\), \(\frac{1}{4}\cdot 4 = 1\). Поэтому отношение превращается в \(2 : 1 : 1\). Это отношение уже состоит из целых чисел и дальше не сокращается, так как наибольший общий делитель чисел 2, 1 и 1 равен 1.

б) Дано отношение \(1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2} : 1\). Сначала переводим смешанные числа в неправильные дроби. Число \(1\frac{1}{3}\) равно \(\frac{4}{3}\), так как \(1 = \frac{3}{3}\), и \(\frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\). Число \(1\frac{1}{2}\) равно \(\frac{3}{2}\), так как \(1 = \frac{2}{2}\), и \(\frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). Единицу можно записать как дробь \(\frac{1}{1}\). Тогда отношение запишется как \(\frac{4}{3} : \frac{3}{2} : 1\). Далее находим общий знаменатель для дробей \(\frac{4}{3}\) и \(\frac{3}{2}\): знаменатели 3 и 2, их наименьшее общее кратное равно 6. Умножаем все члены отношения на 6: \(\frac{4}{3}\cdot 6 : \frac{3}{2}\cdot 6 : 1\cdot 6\). Вычисляем: \(\frac{4}{3}\cdot 6 = 4\cdot 2 = 8\), \(\frac{3}{2}\cdot 6 = 3\cdot 3 = 9\), \(1\cdot 6 = 6\). Получаем отношение \(8 : 9 : 6\). Эти числа уже целые, а их наибольший общий делитель равен 1, поэтому отношение дальше не сокращается, и окончательный вид отношения \(8 : 9 : 6\).

в) Дано отношение \(0{,}5 : 1 : 1{,}5\). Здесь числа десятичные, поэтому нужно подобрать такое число, чтобы при умножении все десятичные дроби стали целыми. Замечаем, что каждое число имеет не более одной цифры после запятой, поэтому достаточно умножить все члены на 10 или можно проще подобрать число 2, так как \(0{,}5\cdot 2 = 1\), \(1{,}5\cdot 2 = 3\), а 1 при умножении на 2 даст 2. Выбираем множитель 2, как в решении: умножаем все числа на 2 и получаем \(0{,}5\cdot 2 : 1\cdot 2 : 1{,}5\cdot 2\). Считаем: \(0{,}5\cdot 2 = 1\), \(1\cdot 2 = 2\), \(1{,}5\cdot 2 = 3\). Получаем отношение \(1 : 2 : 3\). Все члены стали целыми и их наибольший общий делитель равен 1, поэтому дальнейшее упрощение невозможно, окончательный ответ \(1 : 2 : 3\).

г) Рассматриваем отношение \(4{,}5 : 2{,}7 : 1{,}8\). Здесь в каждом числе одна цифра после запятой, поэтому удобно сначала избавиться от запятых, умножив все члены на 10. Выполняем умножение: \(4{,}5\cdot 10 = 45\), \(2{,}7\cdot 10 = 27\), \(1{,}8\cdot 10 = 18\). Получаем промежуточное отношение \(45 : 27 : 18\), состоящее уже из целых чисел. Далее можно попытаться упростить это отношение, разделив все числа на их наибольший общий делитель. Замечаем, что каждое число делится на 9: \(45 : 9 = 5\), \(27 : 9 = 3\), \(18 : 9 = 2\). Делим каждый член отношения на 9 и получаем \(5 : 3 : 2\). Наибольший общий делитель чисел 5, 3 и 2 равен 1, следовательно, отношение \(5 : 3 : 2\) является окончательно упрощённым.