ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 16 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколько можно составить различных дробей, отличных от 1, у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37? Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел. Определите, сколько из составленных дробей меньше \(\frac{1}{2}\).

В промежутке от 11 до 37 содержится 8 простых чисел.

Для каждого из этих 8 числителей можно записать 7 знаменателей, т.е. всего \(8 \times 7 = 56\) дробей.

Наименьшая из этих дробей будет \(\frac{11}{37}\), наибольшая \(\frac{37}{11}\).

Меньше \(\frac{1}{2}\) будут дроби
\(\frac{11}{23}, \frac{11}{29}, \frac{11}{31}, \frac{11}{37}, \frac{13}{29}, \frac{13}{31}, \frac{13}{37}, \frac{17}{37}\).

В промежутке от 11 до 37 находятся простые числа: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Всего таких чисел 8. Эти числа можно использовать в качестве числителей и знаменателей дробей. При этом дроби, в которых числитель и знаменатель одинаковы, равны 1, а нам нужны дроби, отличные от 1. Значит, для каждого числителя можно выбрать 7 различных знаменателей (все простые числа кроме самого числителя).

Таким образом, общее количество дробей, которые можно составить, равно произведению количества числителей на количество возможных знаменателей: \(8 \times 7 = 56\) дробей. Каждая из этих дробей имеет числитель и знаменатель, являющиеся простыми числами из заданного промежутка, и все дроби различны.

Наименьшая дробь будет с наименьшим числителем и наибольшим знаменателем, то есть \(\frac{11}{37}\), а наибольшая — с наибольшим числителем и наименьшим знаменателем, то есть \(\frac{37}{11}\). Чтобы определить, сколько из дробей меньше \(\frac{1}{2}\), нужно сравнить каждую дробь с \(\frac{1}{2}\) и выделить те, у которых числитель меньше половины знаменателя. Таких дробей восемь: \(\frac{11}{23}, \frac{11}{29}, \frac{11}{31}, \frac{11}{37}, \frac{13}{29}, \frac{13}{31}, \frac{13}{37}, \frac{17}{37}\).