ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Чему равно значение дроби \(\frac{1}{a}\), если \(a = 15; 8; \frac{1}{4}; \frac{2}{3}; -8; -\frac{3}{5}\)?

2) Из данных значений \(a\) назовите какое-нибудь одно, при котором:
\(0 < \frac{1}{a} < 1;\)
\(\frac{1}{a} > 1;\)
\(-1 < \frac{1}{a} < 0;\)
\(\frac{1}{a} < -1.\)

1)
Если \(a = 15\), то \(\frac{1}{a} = \frac{1}{15}\) — дробь положительная и меньше 1.

Если \(a = 8\), то \(\frac{1}{a} = \frac{1}{8}\) — дробь положительная и меньше 1.

Если \(a = \frac{1}{4}\), то \(\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4\) — дробь больше 1.

Если \(a = \frac{2}{3}\), то \(\frac{1}{a} = \frac{3}{2}\) — дробь больше 1.

Если \(a = -8\), то \(\frac{1}{a} = -\frac{1}{8}\) — дробь отрицательная, но больше -1.

Если \(a = -\frac{3}{5}\), то \(\frac{1}{a} = -\frac{5}{3}\) — дробь отрицательная и меньше -1.

2)
\(0 < \frac{1}{a} < 1\) при \(a = 15; 8\) — дробь положительная и меньше 1.

\(\frac{1}{a} > 1\) при \(a = \frac{1}{4}; \frac{2}{3}\) — дробь положительная и больше 1.

\(-1 < \frac{1}{a} < 0\) при \(a = -8\) — дробь отрицательная, но по модулю меньше 1.

\(\frac{1}{a} < -1\) при \(a = -\frac{3}{5}\) — дробь отрицательная и по модулю больше 1.

1) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{a}\) для каждого значения \(a\). Если \(a = 15\), то значение дроби будет \(\frac{1}{15}\). Это простая дробь, где числитель равен 1, а знаменатель 15, что означает, что дробь меньше единицы, но больше нуля.

Если \(a = 8\), то \(\frac{1}{a} = \frac{1}{8}\). Аналогично предыдущему случаю, дробь положительна и меньше 1, так как знаменатель больше числителя. При \(a = \frac{1}{4}\) происходит обратная ситуация: \(\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 1 \times 4 = 4\). Здесь дробь становится целым числом, так как деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную.

Для \(a = \frac{2}{3}\) значение \(\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\) — это дробь больше единицы, так как числитель больше знаменателя. При отрицательных значениях \(a\), например, \(a = -8\), дробь \(\frac{1}{a} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}\) становится отрицательной, но по величине меньше единицы.

Если \(a = -\frac{3}{5}\), то \(\frac{1}{a} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = 1 \times \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{5}{3}\). Здесь дробь отрицательная и по абсолютной величине больше 1, так как \(\frac{5}{3} > 1\).

2) Теперь рассмотрим, при каких значениях \(a\) выполняются заданные неравенства. Для \(0 < \frac{1}{a} < 1\) подходят положительные значения \(a\), которые больше 1, так как при этом дробь будет положительной, но меньше единицы. Это \(a = 15\) и \(a = 8\).

Для \(\frac{1}{a} > 1\) подходят положительные дробные значения \(a\) меньше 1, например, \(a = \frac{1}{4}\) и \(a = \frac{2}{3}\). При этом обратная дробь становится больше единицы, так как знаменатель в исходном значении меньше числителя.

При \(-1 < \frac{1}{a} < 0\) значение дроби отрицательное, но по модулю меньше единицы. Это происходит, если \(a\) отрицательно и по абсолютной величине больше 1, например, \(a = -8\).

Если \(\frac{1}{a} < -1\), то дробь отрицательная и по модулю больше единицы. Это возможно при \(a = -\frac{3}{5}\), так как абсолютное значение дроби \(\frac{5}{3}\) больше 1, а знак отрицательный.