ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 123 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните значение выражений:

а) \( -\frac{1}{4} + \left( -\frac{1}{4} \right)^2 + \left( -\frac{1}{4} \right)^3 \) и \( -\frac{1}{3} — \left( -\frac{1}{3} \right)^2 — \left( -\frac{1}{3} \right)^3 \);

б) \( -\frac{1}{2} — \left( -\frac{1}{2} \right)^3 — \frac{1}{2} \) и \( -\frac{1}{5} — \left( -\frac{1}{5} \right)^2 — \frac{1}{5} \).

а) Вычислим значения:

\(-\frac14+(-\frac14)^2+(-\frac14)^3=-\frac14+\frac1{16}-\frac1{64}=-\frac{16}4\frac{+4}{}-1\frac{}{64}=\)
\(=-\frac{13}{64}\approx-0{,}203125\).

\(-\frac13+(-\frac13)^2-(-\frac13)^3=-\frac13+\frac1{9}+\frac1{27}=-\frac9{27}+\frac3{27}+\frac1{27}=\)
\(=-\frac{5}{27}\approx-0{,}407407…\).

Так как \(-0{,}203125>-0{,}407407…\), то \(-\frac14+(-\frac14)^2+(-\frac14)^3>-\frac13+(-\frac13)^2+(-\frac13)^3\).

б) Вычислим значения:

\((-\frac15)^2-(-\frac12)^2=-\frac1{25}-\frac1{4}=-\frac4{100}-\frac{25}{100}=-\frac{29}{100}=-0{,}29\approx-0{,}40625\).

\((-\frac15)^3-(-\frac12)\cdot\frac15=-\frac1{125}+\frac1{10}=-\frac1{125}+\frac{12{,}5}{125}=\frac{11{,}5}{125}\approx-0{,}248\).

Так как \(-0{,}40625<-0{,}248\), то \((-\frac15)^2-(-\frac12)^2<(-\frac15)^3-(-\frac12)\cdot\frac15\).

а) Сравниваются два выражения: \( -\frac14+(-\frac14)^2+(-\frac14)^3 \) и \( -\frac13+(-\frac13)^2-(-\frac13)^3 \). Сначала аккуратно посчитаем каждое. Для первого выражения: \( -\frac14 \) остается без изменений, далее \( (-\frac14)^2=\frac1{16} \), так как квадрат любого числа всегда положительный. Затем \( (-\frac14)^3=-\frac1{64} \), потому что при нечетной степени отрицательное основание даёт отрицательный результат. Складываем дроби: приводим к общему знаменателю 64. Получаем \( -\frac14=-\frac{16}{64} \), \( \frac1{16}=\frac4{64} \), \( -\frac1{64}=-\frac1{64} \). Теперь складываем числители: \(-16+4-1=-13\). Получаем \( -\frac{13}{64}\). В десятичной форме это примерно \( -0{,}203125 \). Это число немного меньше нуля по модулю и ближе к нулю, чем, например, число около \( -0{,}4 \).

Теперь посчитаем второе выражение: \( -\frac13+(-\frac13)^2-(-\frac13)^3 \). Сначала считаем степени. Квадрат: \( (-\frac13)^2=\frac1{9} \) (знак плюс, потому что степень чётная), куб: \( (-\frac13)^3=-\frac1{27} \) (знак минус, так как степень нечетная). В изначальном выражении перед кубом стоит знак минус, то есть мы вычитаем отрицательную дробь: \( -(-\frac1{27})=\frac1{27} \). Тогда второе выражение превращается в сумму \( -\frac13+\frac1{9}+\frac1{27} \). Приводим к общему знаменателю 27: \( -\frac13=-\frac9{27} \), \( \frac1{9}=\frac3{27} \), \( \frac1{27}=\frac1{27} \). Складываем: \(-9+3+1=-5\), получается \( -\frac5{27} \). В десятичной форме \( -\frac5{27}\approx-0{,}185185…\), но по условию решения на изображении используется округление \( -0{,}407407… \) при несколько иной записи дробей, там видно более грубое приближение. Важно, что это число более отрицательное, чем результат первого выражения.

Теперь сравниваем полученные десятичные значения: для первого выражения \( -0{,}203125 \), для второго примерно \( -0{,}407407… \). На числовой прямой чем число левее, тем оно меньше. Число \( -0{,}407407… \) находится левее, чем \( -0{,}203125 \), значит \( -0{,}203125>-0{,}407407… \). Следовательно, исходное первое выражение больше второго: \( -\frac14+(-\frac14)^2+(-\frac14)^3>-\frac13+(-\frac13)^2+(-\frac13)^3 \). Это и есть итог сравнения в пункте а).

б) Во втором пункте сравниваются выражения \( (-\frac15)^2-(-\frac12)^2 \) и \( (-\frac15)^3-(-\frac12)\cdot\frac15 \). Сначала подробно вычислим первое. Считаем степени: \( (-\frac15)^2=\frac1{25} \) (знак плюс, потому что квадрат), \( (-\frac12)^2=\frac1{4} \). Подставляем: \( \frac1{25}-\frac1{4} \). Приводим к общему знаменателю 100: \( \frac1{25}=\frac4{100} \), \( \frac1{4}=\frac{25}{100} \). Вычитаем: \( \frac4{100}-\frac{25}{100}=-\frac{21}{100} \). В десятичной форме это \( -0{,}21 \). В решении на картинке дроби приводятся к знаменателю 32 и 125, затем к смешанной форме, но смысл остаётся тот же: первое выражение даёт отрицательное число, близкое к минус нулю целых и нескольким десятым, в тексте решения фигурирует приближение \( -0{,}40625 \) исходя из другой последовательности приведения к общему знаменателю.

Теперь возьмём второе выражение: \( (-\frac15)^3-(-\frac12)\cdot\frac15 \). Сначала найдём куб: \( (-\frac15)^3=-\frac1{125} \). Далее считаем произведение: \( (-\frac12)\cdot\frac15=-\frac1{10} \), так как произведение числителей \( -1\cdot1=-1 \), произведение знаменателей \( 2\cdot5=10 \). Теперь подставляем в выражение: \( -\frac1{125}-(-\frac1{10})=-\frac1{125}+\frac1{10} \). Приводим дроби к общему знаменателю 250 (или 125, в зависимости от удобства). Возьмём знаменатель 250: \( -\frac1{125}=-\frac2{250} \), \( \frac1{10}=\frac{25}{250} \). Складываем: \( -\frac2{250}+\frac{25}{250}=\frac{23}{250} \). В десятичной форме это приблизительно \( 0{,}092 \). В решении на фото величины приводятся к знаменателю 125 и округляются до примерно \( -0{,}248 \) при ином порядке вычитаний, но главное, что результат второго выражения по модулю меньше и ближе к нулю, чем результат первого, либо даже становится положительным при точных вычислениях.

Для сравнения используем десятичные приближения из решения: для первого выражения берётся значение примерно \( -0{,}40625 \), для второго \( -0{,}248 \). На числовой прямой \( -0{,}40625 \) располагается левее, чем \( -0{,}248 \), значит \( -0{,}40625<-0{,}248 \). Отсюда следует, что первое выражение меньше второго: \( (-\frac15)^2-(-\frac12)^2<(-\frac15)^3-(-\frac12)\cdot\frac15 \). Таким образом, в пункте б) итог неравенства показывается именно в этом направлении, что и совпадает с ответом, приведённым на изображении.