ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 121 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения при \( a = 1.5 \), \( b = 0.7 \), \( c = -0.5 \):

a) \( \frac{a — b}{a + b} + \frac{b — c}{b + c} + \frac{c — a}{c + a} \)

б) \( \frac{(b — a)(b — c)(c — a)}{(a + b)(b + c)(c + a)} \)

а) Подставляем \(a=1{,}5\), \(b=0{,}7\), \(c=-0{,}5\) в выражение \( \frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} \).

\((a-b) = 1{,}5-0{,}7 = 0{,}8\), \((a+b)=1{,}5+0{,}7=2{,}2\), значит \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{0{,}8}{2{,}2}=\frac{8}{22}\).

\((b-c)=0{,}7-(-0{,}5)=1{,}2\), \((b+c)=0{,}7+(-0{,}5)=0{,}2\), значит \(\frac{b-c}{b+c}=\frac{1{,}2}{0{,}2}=6=\frac{12}{2}\).

\((c-a)=-0{,}5-1{,}5=-2\), \((c+a)=-0{,}5+1{,}5=1\), значит \(\frac{c-a}{c+a}=\frac{-2}{1}=-2\).

Складываем: \(\frac{8}{22}+6-2=\frac{8}{22}+4=4+\frac{4}{11}=4\frac{4}{11}\).

б) Подставляем те же значения в \(\frac{(b-a)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\).

\((b-a)=0{,}7-1{,}5=-0{,}8\), \((b-c)=0{,}7-(-0{,}5)=1{,}2\), \((c-a)=-0{,}5-1{,}5=-2\), тогда числитель: \((-0{,}8)\cdot 1{,}2\cdot (-2)=1{,}92\).

\((a+b)=2{,}2\), \((b+c)=0{,}2\), \((c+a)=1\), тогда знаменатель: \(2{,}2\cdot 0{,}2\cdot 1=0{,}44\).

Получаем \(\frac{1{,}92}{0{,}44}=\frac{8\cdot 12\cdot 2}{22\cdot 2\cdot 2}=\frac{48}{11}=4\frac{4}{11}\).

а) Рассмотрим выражение \(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\) при \(a=1{,}5\), \(b=0{,}7\), \(c=-0{,}5\). Сначала аккуратно подставим значения в каждую дробь. В первой дроби: \(a-b=1{,}5-0{,}7=0{,}8\), а \(a+b=1{,}5+0{,}7=2{,}2\), поэтому первая дробь равна \(\frac{0{,}8}{2{,}2}\). Чтобы удобнее работать, умножим числитель и знаменатель на 10, получим \(\frac{8}{22}\). Во второй дроби: \(b-c=0{,}7-(-0{,}5)=0{,}7+0{,}5=1{,}2\), а \(b+c=0{,}7+(-0{,}5)=0{,}2\). Тогда \(\frac{b-c}{b+c}=\frac{1{,}2}{0{,}2}\). Деление десятичных удобно заменить на деление целых: умножаем числитель и знаменатель на 10, получаем \(\frac{12}{2}=6\). В третьей дроби: \(c-a=-0{,}5-1{,}5=-2\), а \(c+a=-0{,}5+1{,}5=1\), значит \(\frac{c-a}{c+a}=\frac{-2}{1}=-2\).

Теперь сложим полученные результаты: \(\frac{8}{22}+6-2\). Сначала упростим: \(6-2=4\), значит выражение превращается в \(\frac{8}{22}+4\). Сократим дробь \(\frac{8}{22}\): делим числитель и знаменатель на 2, получаем \(\frac{4}{11}\). Тогда имеем \(4+\frac{4}{11}\). Это смешанное число: целая часть 4 и дробная \(\frac{4}{11}\). Итог: значение исходного выражения равно \(4\frac{4}{11}\). Так мы последовательно нашли каждую дробь, упростили их и аккуратно сложили, приведя к смешанному числу.

б) Теперь разберём выражение \(\frac{(b-a)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\) при тех же значениях \(a=1{,}5\), \(b=0{,}7\), \(c=-0{,}5\). Сначала вычислим каждую разность в числителе. Имеем \(b-a=0{,}7-1{,}5=-0{,}8\). Далее \(b-c=0{,}7-(-0{,}5)=0{,}7+0{,}5=1{,}2\). Затем \(c-a=-0{,}5-1{,}5=-2\). Перемножим их: \((b-a)(b-c)(c-a)=(-0{,}8)\cdot 1{,}2\cdot(-2)\). Сначала перемножим два числа: \((-0{,}8)\cdot 1{,}2=-0{,}96\), затем умножим результат на \(-2\): \(-0{,}96\cdot(-2)=1{,}92\). Числитель равен \(1{,}92\).

Теперь разберём знаменатель. Считаем \(a+b=1{,}5+0{,}7=2{,}2\). Далее \(b+c=0{,}7+(-0{,}5)=0{,}2\). Потом \(c+a=-0{,}5+1{,}5=1\). Перемножим: \((a+b)(b+c)(c+a)=2{,}2\cdot 0{,}2\cdot 1\). Сначала \(2{,}2\cdot 0{,}2=0{,}44\), затем умножаем на 1, получаем \(0{,}44\). Таким образом, выражение принимает вид \(\frac{1{,}92}{0{,}44}\). Чтобы избежать работы с десятичными дробями, умножим числитель и знаменатель на 100: \(\frac{1{,}92}{0{,}44}=\frac{192}{44}\). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: \(\frac{192}{44}=\frac{48}{11}\).

Дальше представим результат в виде смешанного числа. Делим 48 на 11: 11 умещается в 48 четыре раза, так как \(11\cdot 4=44\), остаток \(48-44=4\). Значит \(\frac{48}{11}=4\frac{4}{11}\). Таким образом, значение второго выражения также равно \(4\frac{4}{11}\). В итоге в обоих пунктах а) и б) после подстановки чисел, аккуратных вычислений и упрощений получаем один и тот же результат: \(4\frac{4}{11}\).