ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 11 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сравните числа:
а) \(-\frac{5}{19}\) и \(-\frac{2}{9}\);
б) \(-\frac{5}{12}\) и \(-\frac{11}{19}\);
в) \(-0,6\) и \(-\frac{5}{6}\);
г) \(-\frac{1}{4}\) и \(-0,2\).

а) Сравним \(-\frac{5}{19}\) и \(-\frac{2}{9}\).
Для сравнения отрицательных дробей сравним их модули, используя метод перекрестного умножения: \(5 \cdot 9 = 45\) и \(19 \cdot 2 = 38\).
Так как \(45 > 38\), то \(\frac{5}{19} > \frac{2}{9}\).
Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: \(-\frac{5}{19} < -\frac{2}{9}\).

б) Сравним \(-\frac{5}{12}\) и \(-\frac{11}{19}\).
Сравним модули, используя перекрестное умножение: \(5 \cdot 19 = 95\) и \(12 \cdot 11 = 132\).
Так как \(95 < 132\), то \(\frac{5}{12} < \frac{11}{19}\).
Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: \(-\frac{5}{12} > -\frac{11}{19}\).

в) Сравним \(-0,6\) и \(-\frac{5}{6}\).
Представим \(-0,6\) как дробь: \(-0,6 = -\frac{6}{10}\).
Сравним \(-\frac{6}{10}\) и \(-\frac{5}{6}\).
Сравним модули, используя перекрестное умножение: \(6 \cdot 6 = 36\) и \(10 \cdot 5 = 50\).
Так как \(36 < 50\), то \(\frac{6}{10} < \frac{5}{6}\).
Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: \(-\frac{6}{10} > -\frac{5}{6}\).
Следовательно, \(-0,6 > -\frac{5}{6}\).

г) Сравним \(-\frac{1}{4}\) и \(-0,2\).
Представим \(-\frac{1}{4}\) как десятичную дробь: \(-\frac{1}{4} = -0,25\).
Сравним \(-0,25\) и \(-0,2\).
Так как \(-0,25\) лежит левее \(-0,2\) на числовой оси, то \(-0,25 < -0,2\).
Следовательно, \(-\frac{1}{4} < -0,2\).

Сравнение отрицательных чисел основывается на принципе, что из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Иными словами, число, расположенное ближе к нулю на числовой прямой, является большим. Для сравнения дробей и смешанных форматов (дроби и десятичные числа) необходимо привести их либо к общему знаменателю, либо к одной форме записи (например, обе в виде десятичных дробей или обе в виде обыкновенных дробей), чтобы корректно сравнить их абсолютные величины (модули).

а) Для сравнения \(-\frac{5}{19}\) и \(-\frac{2}{9}\) мы сначала сравниваем их модули: \(\frac{5}{19}\) и \(\frac{2}{9}\). Чтобы определить, какая из этих положительных дробей больше, мы используем метод перекрестного умножения. Умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй: \(5 \cdot 9 = 45\). Затем умножаем числитель второй дроби на знаменатель первой: \(2 \cdot 19 = 38\). Поскольку \(45 > 38\), это означает, что \(\frac{5}{19}\) больше, чем \(\frac{2}{9}\). При переходе к отрицательным числам знак неравенства меняется на противоположный, так как большему модулю соответствует меньшее отрицательное число. Таким образом, \(-\frac{5}{19} < -\frac{2}{9}\).

б) Аналогичным образом, чтобы сравнить \(-\frac{5}{12}\) и \(-\frac{11}{19}\), мы сравниваем их модули \(\frac{5}{12}\) и \(\frac{11}{19}\). Применяем метод перекрестного умножения. Получаем два произведения: \(5 \cdot 19 = 95\) и \(12 \cdot 11 = 132\). Так как \(95 < 132\), мы устанавливаем, что \(\frac{5}{12} < \frac{11}{19}\). Поскольку \(\frac{5}{12}\) имеет меньший модуль, то при добавлении знака «минус» оно становится большим числом. Следовательно, \(-\frac{5}{12} > -\frac{11}{19}\). Этот метод позволяет избежать громоздкого поиска наименьшего общего знаменателя, который в данном случае равен \(12 \cdot 19 = 228\).

в) Для сравнения \(-0,6\) и \(-\frac{5}{6}\) наиболее удобно привести десятичную дробь к виду обыкновенной дроби. \(-0,6\) можно записать как \(-\frac{6}{10}\). Теперь необходимо сравнить \(-\frac{6}{10}\) и \(-\frac{5}{6}\). Сравниваем их модули \(\frac{6}{10}\) и \(\frac{5}{6}\) с помощью перекрестного умножения. Произведения: \(6 \cdot 6 = 36\) и \(10 \cdot 5 = 50\). Поскольку \(36 < 50\), мы заключаем, что \(\frac{6}{10} < \frac{5}{6}\). Применяя правило сравнения отрицательных чисел, мы меняем знак неравенства на противоположный: \(-\frac{6}{10} > -\frac{5}{6}\). Таким образом, \(-0,6 > -\frac{5}{6}\).

г) При сравнении \(-\frac{1}{4}\) и \(-0,2\) целесообразно перевести обыкновенную дробь в десятичную, поскольку знаменатель \(4\) является делителем \(100\). \(- \frac{1}{4}\) эквивалентно \(-0,25\). Теперь нам нужно сравнить \(-0,25\) и \(-0,2\). Сравнивая их модули, мы видим, что \(0,25 > 0,2\). Так как \(-0,2\) имеет меньший модуль, оно расположено ближе к нулю на числовой прямой и, следовательно, является большим числом. Таким образом, \(-0,25 < -0,2\), или \(-\frac{1}{4} < -0,2\).