ГДЗ по Алгебра 7 Класс Номер 107 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Исследуем
1) Вычислите среднее арифметическое ряда:
2, 8, 16, 24, 30, 40.
Используя полученный результат, попробуйте догадаться, чему равны средние арифметические следующих рядов:
а) 12, 18, 26, 34, 40, 50;
б) 20, 80, 160, 240, 300, 400.
Проверьте себя с помощью вычислений.
2) Как изменится среднее арифметическое ряда, если:
а) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число;
б) все члены ряда умножить на одно и то же положительное число?
Изменятся ли при этом мода и размах?

1) Найдём среднее арифметическое исходного ряда:
\( \frac{2+8+16+24+30+40}{6}=\frac{120}{6}=20\).

а) Каждое число увеличили на 10:
\(2+10=12,\ 8+10=18,\dots,40+10=50\).
Среднее арифметическое нового ряда:
\( \frac{12+18+26+34+40+50}{6}=\frac{180}{6}=30\).
Оно больше на 10.

б) Каждое число умножили на 10:
\(2\cdot10=20,\ 8\cdot10=80,\dots,40\cdot10=400\).
Среднее арифметическое нового ряда:
\( \frac{20+80+160+240+300+400}{6}=\frac{1200}{6}=200\).
Оно больше в 10 раз.

2) а) При прибавлении одного и того же числа ко всем элементам ряда среднее арифметическое увеличится на это число, мода и размах не изменятся.

б) При умножении всех элементов на одно и то же число среднее арифметическое увеличится во столько же раз, на сколько умножали; мода не изменится, размах изменится.

1) Сначала находим среднее арифметическое исходного ряда чисел: берем все числа ряда \(2, 8, 16, 24, 30, 40\), складываем их и делим на количество чисел. Получаем сумму: \(2+8=10\), \(10+16=26\), \(26+24=50\), \(50+30=80\), \(80+40=120\). В ряду 6 чисел, поэтому среднее арифметическое равно \( \frac{120}{6} = 20\). Это значение и есть среднее арифметическое исходного ряда.

а) В условии сказано, что каждое из чисел нового ряда на 10 больше, чем соответствующее число предыдущего ряда. То есть к каждому числу мы прибавляем одно и то же число 10: \(2+10=12\), \(8+10=18\), \(16+10=26\), \(24+10=34\), \(30+10=40\), \(40+10=50\). Получаем новый ряд: \(12, 18, 26, 34, 40, 50\). Складываем числа нового ряда: \(12+18=30\), \(30+26=56\), \(56+34=90\), \(90+40=130\), \(130+50=180\). Среднее арифметическое нового ряда равно \( \frac{180}{6} = 30\). Видно, что каждое число увеличилось на 10, поэтому и среднее арифметическое стало больше на 10: было 20, стало 30. Это общий принцип: если ко всем числам ряда прибавить одно и то же число, то среднее арифметическое увеличится (или уменьшится) на это же число.

б) Теперь каждое число нового ряда в 10 раз больше соответствующего числа исходного ряда, то есть все числа умножают на одно и то же число 10: \(2\cdot 10=20\), \(8\cdot 10=80\), \(16\cdot 10=160\), \(24\cdot 10=240\), \(30\cdot 10=300\), \(40\cdot 10=400\). Получаем новый ряд: \(20, 80, 160, 240, 300, 400\). Складываем: \(20+80=100\), \(100+160=260\), \(260+240=500\), \(500+300=800\), \(800+400=1200\). Среднее арифметическое этого ряда равно \( \frac{1200}{6} = 200\). Поскольку каждое число увеличили в 10 раз, среднее арифметическое также увеличилось в 10 раз: было 20, стало 200. Это общий закон: если все числа ряда умножить на одно и то же число, то среднее арифметическое умножится на это же число.

2) а) Если к каждому числу ряда прибавить одно и то же число, то каждое значение сдвигается на одинаковую величину, поэтому и среднее арифметическое ряда увеличивается на это число. Например, как выше: было среднее 20, ко всем прибавили 10, новое среднее стало 30, то есть \(20+10\). При этом мода (наиболее часто встречающееся число) не изменится, потому что все числа сдвигаются одинаково, и то число, которое встречалось чаще других, после прибавления будет по-прежнему встречаться чаще других, только его значение изменится на ту же величину. Размах (разность между наибольшим и наименьшим значениями) тоже не изменится, так как и максимум, и минимум увеличатся на одно и то же число, а их разность останется прежней: если было \(M-m\), то станет \((M+k)-(m+k)=M-m\).

б) Если все числа ряда умножить на одно и то же число, то среднее арифметическое умножится во столько же раз, на сколько умножали. Это видно на примере: исходное среднее 20, все числа умножили на 10, среднее стало 200, то есть \(20\cdot 10\). Мода не изменится как «часто встречающееся значение»: число, которое встречалось чаще других, после умножения по-прежнему будет встречаться чаще других, только его конкретное значение изменится (например, вместо 5 будет 50). Размах изменится, потому что и наибольшее, и наименьшее значения умножаются на одно и то же число: если размах был \(M-m\), то после умножения на \(k\) он станет \(kM-km=k(M-m)\), то есть увеличится во столько же раз, на сколько умножали числа ряда.