ГДЗ по Алгебра 7 Класс Это надо знать Глава 8 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете?
2. На основе какого свойства действия выполняется вынесение за скобки общего множителя? Объясните на примере многочлена \(12ab^2 + 3a^2b\), как вынести за скобки общий множитель.
3. Объясните на примере многочлена \(ax — bx + ay — by\), как выполняется разложение на множители способом группировки. Покажите разные возможности группировки слагаемых.
4. Запишите формулу разности квадратов и докажите её. Составьте несколько выражений, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы.
5. Запишите формулу разности кубов и докажите её. Покажите на примере выражения \(8 — 27y^3\), как применить эту формулу для разложения его на множители.
6. Запишите формулу суммы кубов и докажите её. Покажите на примере выражения \(1 + \frac{1}{8}a^3\), как применить эту формулу для разложения его на множители.
7. Сформулируйте условие равенства нулю произведения двух или нескольких чисел.

№ 1
Способы разложения многочлена на множители:
– вынесение общего множителя за скобки;
– способ группировки;
– формулы сокращенного умножения.

№ 2
Вынесение общего множителя за скобки выполняется на основе распределительного свойства.
\(12ab^2 + 3a^2b = 3ab(4b + a)\).

№ 3
\(ax — bx + ay — by = (ax — bx) + (ay — by) = x(a — b) + y(a — b) =\)
\(= (a — b)(x + y)\);
\(ax — bx + ay — by = (ax + ay) — (bx + by) = a(x + y) — b(x + y) =\)
\(= (x + y)(a — b)\).

№ 4
Формула разности квадратов:
\(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\).
Доказательство:
\((a — b)(a + b) = a^2 + ab — ab — b^2 = a^2 — b^2\).
Примеры:
\(49a^2 — 36b^2 = (7a — 6b)(7a + 6b)\),
\(9a^2 — 4b^2 = (3a — 2b)(3a + 2b)\).

№ 5
Формула разности кубов:
\(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).
Доказательство:
\((a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 — a^2b — ab^2 — b^3 = a^3 — b^3\).
Пример:
\(8 — 27y^3 = 2^3 — (3y)^3 = (2 — 3y)(2^2 + 2 \cdot 3y + (3y)^2) =\)
\(= (2 — 3y)(4 + 6y + 9y^2)\).

№ 6
Формула суммы кубов:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).
Доказательство:
\((a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 — a^2b + ab^2 + a^2b — ab^2 + b^3 = a^3 + b^3\).
Пример:
\(1 + \frac{1}{8}a^3 = 1^3 + \left(\frac{1}{2}a\right)^3 = \left(1 + \frac{1}{2}a\right)\left(1^2 — 1 \cdot \frac{1}{2}a + \left(\frac{1}{2}a\right)^2\right) =\)
\(= \left(1 + \frac{1}{2}a\right)\left(1 — \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2\right)\).

№ 7
Произведение двух или нескольких чисел равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю.

№ 1
Разложение многочлена на множители — это процесс представления многочлена в виде произведения нескольких выражений. Основные способы разложения включают три метода. Первый — вынесение общего множителя за скобки, когда из всех слагаемых выделяется общий множитель, который выносится за скобки, а внутри остаются упрощённые выражения. Второй способ — группировка, когда многочлен разбивается на группы, из каждой из которых выносится общий множитель, после чего полученные выражения объединяются. Третий способ — применение формул сокращённого умножения, которые позволяют быстро разложить многочлены, используя известные алгебраические тождества.

№ 2
Вынесение общего множителя за скобки основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое гласит, что \(a(b + c) = ab + ac\). Если в каждом слагаемом многочлена есть общий множитель, его можно вынести за скобки, преобразовав выражение. Например, в многочлене \(12ab^2 + 3a^2b\) общий множитель — \(3ab\), так как он содержится в каждом слагаемом. Вынесем его за скобки:
\(12ab^2 + 3a^2b = 3ab(4b + a)\).
Это упрощает выражение и облегчает дальнейшую работу с ним.

№ 3
Способ группировки применяется, когда многочлен состоит из нескольких слагаемых, которые можно разбить на группы, каждая из которых имеет общий множитель. Рассмотрим многочлен \(ax — bx + ay — by\). Его можно разбить на две группы: \((ax — bx)\) и \((ay — by)\). В первой группе вынесем за скобки \(x\), во второй — \(y\):
\(ax — bx + ay — by = (ax — bx) + (ay — by) = x(a — b) + y(a — b)\).
Теперь видно, что в обоих слагаемых есть общий множитель \((a — b)\), который можно вынести за скобки:
\(x(a — b) + y(a — b) = (a — b)(x + y)\).
Альтернативный способ группировки:
\(ax — bx + ay — by = (ax + ay) — (bx + by) =\)
\(= a(x + y) — b(x + y) = (x + y)(a — b)\).
Таким образом, группировка помогает упростить выражение путем выделения общих множителей в группах.

№ 4
Формула разности квадратов — это одно из ключевых алгебраических тождеств, позволяющее разложить выражение вида \(a^2 — b^2\) на произведение двух двучленов:
\(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\).
Доказательство основано на раскрытии скобок:
\((a — b)(a + b) = a^2 + ab — ab — b^2 = a^2 — b^2\).
Знаки \(+ab\) и \(-ab\) сокращаются, оставляя разность квадратов.
Примеры применения формулы:
\(49a^2 — 36b^2 = (7a — 6b)(7a + 6b)\), так как \(49a^2 = (7a)^2\), \(36b^2 = (6b)^2\);
\(9a^2 — 4b^2 = (3a — 2b)(3a + 2b)\), где \(9a^2 = (3a)^2\), \(4b^2 = (2b)^2\).
Эта формула широко используется для упрощения и факторизации многочленов.

№ 5
Формула разности кубов позволяет разложить выражение вида \(a^3 — b^3\) на произведение двух множителей:
\(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).
Доказательство можно получить, раскрывая скобки:
\((a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 — a^2b — ab^2 — b^3\).
Слагаемые \(a^2b\) и \(-a^2b\), \(ab^2\) и \(-ab^2\) взаимно уничтожаются, остаётся:
\(a^3 — b^3\).
Пример применения:
Выражение \(8 — 27y^3\) можно представить как разность кубов:
\(8 = 2^3\), \(27y^3 = (3y)^3\), значит
\(8 — 27y^3 = 2^3 — (3y)^3\).
Используя формулу, получаем:
\((2 — 3y)(2^2 + 2 \cdot 3y + (3y)^2) = (2 — 3y)(4 + 6y + 9y^2)\).
Это разложение упрощает работу с выражением и помогает в решении уравнений.

№ 6
Формула суммы кубов позволяет разложить выражение вида \(a^3 + b^3\) на произведение:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).
Доказательство раскрытием скобок:
\((a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 — a^2b + ab^2 + a^2b — ab^2 + b^3\).
Слагаемые \(-a^2b\) и \(+a^2b\), \(+ab^2\) и \(-ab^2\) сокращаются, остаётся:
\(a^3 + b^3\).
Пример:
\(1 + \frac{1}{8}a^3 = 1^3 + \left(\frac{1}{2}a\right)^3\).
Применяя формулу, получаем:
\(\left(1 + \frac{1}{2}a\right)\left(1^2 — 1 \cdot \frac{1}{2}a + \left(\frac{1}{2}a\right)^2\right) = \left(1 + \frac{1}{2}a\right)\left(1 — \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2\right)\).
Это разложение помогает упростить выражения и анализировать их свойства.

№7
Условие равенства произведения нескольких чисел нулю базируется на свойстве умножения. Произведение двух или более чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множителей равно нулю. Это означает, что если произведение \(x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n = 0\), то существует индекс \(i\), для которого \(x_i = 0\).
Это свойство широко используется при решении уравнений, когда необходимо найти корни многочлена, разложенного на множители. Если произведение равно нулю, значит, нулём является хотя бы один из множителей.