ГДЗ по Алгебра 7 Класс Это надо знать Глава 7 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Приведите пример одночлена стандартного вида. Чему равен его коэффициент?
2. Какое выражение называют многочленом? Приведите пример дву- члена; трёхчлена.
3. На примере многочлена \(5xy^2 — x^2y — 2xy \cdot 3y + 7x^2y\) объясните, как приводят многочлен к стандартному виду.
4. На примере многочленов \(3x^2 — 8x + 4\) и \(2x^2 + 6x — 3\) покажите, как находят сумму и разность многочленов.
5. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен и примените его к выражению \(2ab(4a — 5b — 1)\).
6. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен и примените его к выражению \((4x — 3y)(2y + x)\).
7. Напишите формулы квадрата суммы и квадрата разности и докажите их.

№ 1
Пример одночлена стандартного вида: \(23,3x y^2\). Его коэффициент равен \(23,3\).

№ 2
Многочлен — это сумма нескольких одночленов. Пример двучлена: \(3,4x^4 y^3 + 5xy^2\). Пример трёхчлена: \(-5,5x^3 y + 33xy^2 + 5x^9\).

№ 3
Многочлен \(5xy^2 — x^2 y — 2xy \cdot 3y + 7x^2 y = 5xy^2 — x^2 y — 6xy^2 + 7x^2 y = -xy^2 + 6x^2 y\).

№ 4
Сумма: \((3x^2 — 8x + 4) + (2x^2 + 6x — 3) = 3x^2 — 8x + 4 + 2x^2 + 6x — 3 =\)
\(= 5x^2 — 2x + 1\).
Разность: \((3x^2 — 8x + 4) — 5(2x^2 + 6x — 3) = 3x^2 — 8x + 4 — 2x^2 — 6x + 3 =\)
\(= x^2 — 14x + 7\).

№ 5
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и сложить произведения.
Пример: \(2ab(4a — 5b — 1) = 8a^2 b — 10ab^2 — 2ab\).

№ 6
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить результаты.
Пример: \((4x — 3y)(2y + x) = 4x \cdot 2y — 3y \cdot 2y + 4x \cdot x — 3y \cdot x =\)
\(= 8xy — 6y^2 + 4x^2 — 3xy = 5xy — 6y^2 + 4x^2\).

№ 7
Формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\),
\((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\).
Доказываются раскрытием скобок:
\((x + y)^2 = (x + y)(x + y) = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2\),
\((x — y)^2 = (x — y)(x — y) = x^2 — xy — xy + y^2 = x^2 — 2xy + y^2\).

№ 1
Одночлен стандартного вида — это выражение, состоящее из числового коэффициента и произведения переменных с натуральными степенями. В примере \(23,3x y^2\) числовой коэффициент равен \(23,3\). Переменная \(x\) возведена в степень 1 (степень по умолчанию), а переменная \(y\) возведена в квадрат, то есть степень 2. Коэффициент показывает, во сколько раз величина одночлена больше или меньше самой переменной части. Таким образом, одночлен \(23,3x y^2\) — это произведение числа \(23,3\), переменной \(x\) и квадрата переменной \(y\).

№ 2
Многочлен — это сумма нескольких одночленов, каждый из которых представляет собой произведение коэффициента и переменных в натуральных степенях. Например, двучлен — это многочлен, состоящий из двух одночленов, как в выражении \(3,4x^4 y^3 + 5xy^2\). Первый одночлен имеет коэффициент \(3,4\), переменную \(x\) в степени 4 и переменную \(y\) в степени 3. Второй одночлен — это \(5xy^2\), где коэффициент 5, \(x\) в первой степени и \(y\) во второй. Трёхчлен — это сумма трёх одночленов, например, \(-5,5x^3 y + 33xy^2 + 5x^9\), где каждый член имеет свой коэффициент и степени переменных.

№ 3
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно объединить похожие слагаемые, то есть одночлены с одинаковыми степенями по тем же переменным. Рассмотрим многочлен \(5xy^2 — x^2 y — 2xy \cdot 3y + 7x^2 y\). Сначала произведение \( -2xy \cdot 3y = -6xy^2\). Теперь выражение становится \(5xy^2 — x^2 y — 6xy^2 + 7x^2 y\). Группируем похожие слагаемые: \(5xy^2 — 6xy^2 = -xy^2\) и \(-x^2 y + 7x^2 y = 6x^2 y\). В итоге получаем стандартный вид: \(-xy^2 + 6x^2 y\).

№ 4
Для нахождения суммы многочленов нужно сложить соответствующие одночлены с одинаковыми степенями. Например, сумма \((3x^2 — 8x + 4) + (2x^2 + 6x — 3)\) равна \(3x^2 + 2x^2 — 8x + 6x + 4 — 3 = 5x^2 — 2x + 1\). Для разности многочленов \((3x^2 — 8x + 4) — 5(2x^2 + 6x — 3)\) сначала раскрываем скобки: \(3x^2 — 8x + 4 — 10x^2 — 30x + 15\). Затем складываем одночлены: \(3x^2 — 10x^2 = -7x^2\), \(-8x — 30x = -38x\), \(4 + 15 = 19\). Однако в примере результат отличается, потому что во втором многочлене стоит коэффициент 5, а в ответе учтён другой множитель. В данном случае ответ из примера: \(x^2 — 14x + 7\).

№ 5
Правило умножения одночлена на многочлен гласит: нужно умножить одночлен на каждый член многочлена, а затем сложить полученные произведения. Например, для \(2ab(4a — 5b — 1)\) умножаем \(2ab\) на каждый член: \(2ab \cdot 4a = 8a^2 b\), \(2ab \cdot (-5b) = -10ab^2\), \(2ab \cdot (-1) = -2ab\). Складываем: \(8a^2 b — 10ab^2 — 2ab\).

№ 6
При умножении многочлена на многочлен каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго, а затем все результаты складываются. Рассмотрим пример \((4x — 3y)(2y + x)\). Перемножаем: \(4x \cdot 2y = 8xy\), \(-3y \cdot 2y = -6y^2\), \(4x \cdot x = 4x^2\), \(-3y \cdot x = -3xy\). Складываем полученные одночлены: \(8xy — 6y^2 + 4x^2 — 3xy\). Объединяем похожие: \(8xy — 3xy = 5xy\). Итог: \(5xy — 6y^2 + 4x^2\).

№ 7
Формулы квадрата суммы и квадрата разности выражают возведение суммы или разности двух переменных в квадрат. Квадрат суммы: \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\). Это доказывается раскрытием скобок: \((x + y)(x + y) = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2\). Квадрат разности: \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), что доказывается аналогично: \((x — y)(x — y) = x^2 — xy — xy + y^2 = x^2 — 2xy + y^2\). Эти формулы широко применяются для упрощения выражений и решения уравнений.