ГДЗ по Алгебра 7 Класс Это надо знать Глава 6 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.
2. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.
3. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Докажите соответствующее свойство степени.
4. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения степени в степень. Докажите соответствующее свойство степени.
5. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень произведения. Докажите соответствующее свойство степени.
6. Сформулируйте и проиллюстрируйте на примере правило возведения в степень дроби. Докажите соответствующее свойство степени.
7. Запишите формулу для подсчёта числа перестановок. Приведите пример задачи, в которой нужно подсчитать число перестановок.

№ 1
Степенью числа \(a\) с натуральным показателем \(n > 1\) называют произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\):
\(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}\).

№ 2
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают:
\(a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ раз}} = a^{m+n}\).
Пример: \(a^3 \cdot a^5 = a^{3+5} = a^8\).

№ 3
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя:
\(\frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}} = a^{m-n}\).
Пример: \(\frac{t^{15}}{t^5} = t^{15-5} = t^{10}\).

№ 4
При возведении степени в степень показатели перемножают:
\(\left(a^m\right)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ раз}} = a^{m + m + \ldots + m} = a^{mn}\).
Пример: \(\left(y^2\right)^8 = y^{2 \cdot 8} = y^{16}\).

№ 5
При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают:
\((ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \ldots \cdot (ab)}_{n \text{ раз}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}} = a^n b^n\).
Пример: \((cd)^8 = c^8 d^8\).

№ 6
При возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
\(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}} = \frac{a^n}{b^n}\).
Пример: \(\left(\frac{c}{d}\right)^3 = \frac{c^3}{d^3}\).

№ 7
Формула для подсчёта числа перестановок:
\(P_n = n!\).
Пример задачи: Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг? Ответ: \(7! = 5040\) способов.

№ 1
Степенью числа \(a\) с натуральным показателем \(n > 1\) называют произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\). Это означает, что возведение числа в степень — это многократное умножение самого числа на себя. Например, \(a^3 = a \cdot a \cdot a\), где число \(a\) умножается само на себя три раза. Такой способ записи позволяет компактно выражать повторяющиеся умножения и упрощает вычисления.

Важно понимать, что показатель степени \(n\) указывает именно количество множителей, а не просто число. Натуральный показатель означает, что \(n\) — целое положительное число, большее единицы. Если \(n = 1\), то \(a^1 = a\), а если \(n = 0\), по соглашению \(a^0 = 1\) при \(a \neq 0\). Таким образом, степень — это удобный инструмент для записи и работы с повторяющимися произведениями.

Формально это записывается так:
\(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}\), где \(n\) — натуральное число больше 1.

№ 2
При умножении степеней с одинаковыми основаниями происходит сложение показателей степеней. Это объясняется тем, что умножение степеней — это объединение множителей, так как каждое основание \(a\) повторяется несколько раз. Если есть \(a^m\) и \(a^n\), то \(a^m\) — это \(m\) множителей \(a\), а \(a^n\) — это \(n\) множителей \(a\). При умножении мы просто объединяем все множители, получая \(m + n\) множителей.

Формула для этого правила записывается так:
\(a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ раз}} = a^{m+n}\).

Например, если умножить \(a^3\) на \(a^5\), то получится \(a^{3+5} = a^8\). Это свойство значительно упрощает работу с выражениями, содержащими степени.

№ 3
При делении степеней с одинаковыми основаниями происходит вычитание показателей степеней. Это связано с тем, что деление выражается сокращением одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Если в числителе \(a^m\), а в знаменателе \(a^n\), то можно сократить \(n\) множителей \(a\), остаётся \(m-n\) множителей.

Правило формулируется так:
\(\frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}} = a^{m-n}\).

Например, \(\frac{t^{15}}{t^5} = t^{15-5} = t^{10}\). Это правило помогает упростить выражения и вычисления с дробями, содержащими степени.

№ 4
При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются. Это происходит потому, что возведение степени в степень — это многократное умножение степени самой на себя. Если у нас есть \(\left(a^m\right)^n\), то это значит, что мы умножаем \(a^m\) само на себя \(n\) раз.

Формально:
\(\left(a^m\right)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ раз}} = a^{m + m + \ldots + m} = a^{mn}\).

Например, \(\left(y^2\right)^8 = y^{2 \cdot 8} = y^{16}\). Это правило позволяет упростить сложные выражения с вложенными степенями.

№ 5
При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают. Это связано с тем, что произведение \(ab\) возводится в степень \(n\), что означает умножение \(ab\) само на себя \(n\) раз. Раскрывая скобки, получаем произведение множителей \(a\) и \(b\), каждый из которых возводится в степень \(n\).

Формула:
\((ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \ldots \cdot (ab)}_{n \text{ раз}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}} = a^n b^n\).

Например, \((cd)^8 = c^8 d^8\). Это свойство удобно использовать для упрощения выражений с произведениями.

№ 6
При возведении дроби в степень возводят в эту степень отдельно числитель и знаменатель. Это объясняется тем, что дробь — это частное двух чисел, и возведение в степень распространяется на каждую часть дроби.

Формула:
\(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}} = \frac{a^n}{b^n}\).

Например, \(\left(\frac{c}{d}\right)^3 = \frac{c^3}{d^3}\). Это правило облегчает работу с дробями, возведёнными в степень.

№ 7
Число перестановок \(P_n\) — это количество способов упорядочить \(n\) различных элементов в последовательность. Формула для подсчёта числа перестановок записывается как факториал числа \(n\):
\(P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n\).

Например, если нужно определить, сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, то ответ будет:
\(7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040\) способов.

Это понятие широко используется в комбинаторике и теории вероятностей для подсчёта различных вариантов расположения объектов.