ГДЗ по Алгебра 7 Класс Это надо знать Глава 4 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Что называется корнем уравнения? Что значит «решить уравнение»?
2. Сформулируйте два основных правила преобразования уравнений.
3. Опишите по шагам решение уравнения \(5(x — 4) = 3x + 10\).
4. Какое уравнение называется линейным? Приведите пример линейного уравнения.
5. Разъясните суть алгебраического метода решения задач на примере следующей задачи:
«Ученик задумал число, умножил его на 4, из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число. Какое число задумал ученик?»

1. Корнем уравнения называется число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

2. 1) В уравнении можно перенести слагаемые из одной части в другую, изменив при этом их знаки на противоположные.
2) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, не равное нулю число.

3. \(5(x — 4) = 3x + 10\)
1) Применим распределительный закон: \(5x — 20 = 3x + 10\)
2) Переносим слагаемые с переменной \(x\) в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя знаки: \(5x — 3x = 10 + 20\)
3) Решаем уравнение: \(2x = 30\), \(x = 15\)
Ответ: \(x = 15\)

4. Уравнение вида \(ax = b\), где \(a\) и \(b\) — некоторые числа, причем \(a \neq 0\), \(x\) — переменная, называется линейным уравнением.
Пример: \(12x = 24\)

5. Неизвестное число обозначим буквой \(x\).
Умножим на него 4, получим \(4x\).
Вычтем из него 5, получим \(4x — 5\).
По условию составим уравнение: \(4x — 5 = 2x\).
Решаем уравнение: \(4x — 2x = 5\), \(2x = 5\), \(x = 2,5\) — задуманное число.

1. Корень уравнения — это такое число, которое при подстановке вместо переменной делает уравнение истинным, то есть превращает его в правильное числовое равенство. Когда мы говорим «решить уравнение», мы имеем в виду найти все такие числа, которые при подстановке удовлетворяют уравнению. Если таких чисел нет, значит уравнение не имеет корней. Например, если уравнение выглядит как \(x + 3 = 7\), то корнем будет число \(4\), потому что \(4 + 3 = 7\) — верное равенство.

Решение уравнения — это процесс, в ходе которого мы преобразуем исходное уравнение, чтобы выделить переменную и найти её значение. Иногда уравнение может иметь несколько корней, иногда только один, а иногда ни одного. Важно понимать, что корень — это не просто любое число, а именно то, которое при подстановке в уравнение даёт правильное равенство. Если подставить другое число, равенство не будет верным, значит это число не является корнем.

Таким образом, решение уравнения — это поиск всех таких чисел, которые делают уравнение истинным, или доказательство того, что таких чисел не существует. Это фундаментальная задача алгебры, которая лежит в основе многих математических и прикладных задач.

2. При решении уравнений существуют два основных свойства, которые позволяют преобразовывать уравнения, не меняя их корни. Первое свойство говорит о том, что можно переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, при этом меняя знак слагаемого на противоположный. Например, если уравнение выглядит как \(x + 5 = 12\), то можно перенести \(5\) из левой части в правую, изменив знак на противоположный, и получить \(x = 12 — 5\).

Второе свойство связано с умножением или делением обеих частей уравнения на одно и то же число, которое не равно нулю. Это важно, потому что умножение или деление на ноль приводит к потере смысла уравнения. Например, если уравнение \(2x = 10\), то обе части можно разделить на \(2\), чтобы получить \(x = 5\). Эти свойства обеспечивают эквивалентность уравнений, то есть новое уравнение имеет те же корни, что и исходное.

Эти два правила являются основой для преобразования уравнений и позволяют упрощать их до тех пор, пока мы не найдём значение переменной. Без этих правил решение уравнений было бы невозможным или крайне сложным.

3. Рассмотрим уравнение \(5(x — 4) = 3x + 10\). Сначала применим распределительный закон умножения, который говорит, что нужно умножить число перед скобками на каждый член внутри скобок. Это даст нам: \(5x — 20 = 3x + 10\). Таким образом, мы избавились от скобок, и уравнение стало проще для дальнейших преобразований.

Далее нужно собрать все слагаемые с переменной \(x\) в одну часть уравнения, а все числовые слагаемые — в другую. Для этого перенесём \(3x\) из правой части в левую, изменив знак на противоположный, и перенесём \(-20\) из левой части в правую, также изменив знак. Получим: \(5x — 3x = 10 + 20\). Теперь у нас слева только переменные, а справа только числа.

Теперь упростим обе части: \(2x = 30\). Чтобы найти \(x\), нужно обе части уравнения разделить на 2 (число, не равное нулю). Получаем \(x = 15\). Это и есть корень уравнения, ответ: \(x = 15\).

4. Уравнение вида \(ax = b\), где \(a\) и \(b\) — некоторые числа, а \(a \neq 0\), называется линейным уравнением. Это уравнение первой степени, так как переменная \(x\) возведена в первую степень. Линейные уравнения — самые простые и часто встречающиеся в алгебре.

Пример линейного уравнения: \(12x = 24\). Здесь \(a = 12\), \(b = 24\), и переменная \(x\) стоит в первой степени. Чтобы решить такое уравнение, нужно обе части разделить на \(a\), то есть на 12, и получить \(x = \frac{24}{12} = 2\).

Линейные уравнения важны, так как они часто используются для моделирования простых зависимостей в различных областях науки и техники.

5. Рассмотрим задачу: нужно найти число, которое после умножения на 4 и вычитания 5 равно удвоенному самому этому числу. Обозначим неизвестное число буквой \(x\). Тогда умножение на 4 даёт \(4x\), а вычитание 5 — \(4x — 5\).

По условию составим уравнение: \(4x — 5 = 2x\). Здесь слева выражение после умножения и вычитания, а справа — удвоенное число. Теперь решим уравнение. Переносим все слагаемые с \(x\) в одну часть: \(4x — 2x = 5\). Слева получаем \(2x\), значит уравнение становится \(2x = 5\).

Чтобы найти \(x\), обе части уравнения делим на 2: \(x = \frac{5}{2} = 2.5\). Это и есть задуманное число. Таким образом, мы подробно рассмотрели процесс составления и решения уравнения по условию задачи.