ГДЗ по Алгебра 7 Класс Это надо знать Глава 3 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Назовите и запишите с помощью букв основные свойства сложения и умножения чисел.

2. На основании каких законов можно утверждать, что выполняется равенство:
а) \(-2a-c+3y=3y-2a-c\);
б) \(2a\cdot(-3c)=-6ac\);
в) \(5(x-y)=5x-5y\)?

3. Чему равен коэффициент в каждом из произведений:
\(-7ab;\ \frac{2}{3}x^2;\ mn;\ -xyz\)?

4. Сформулируйте правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «-». Покажите их применение на примерах.

5. Сформулируйте правило раскрытия скобок в произведении. Покажите его применение для раскрытия скобок на примере произведения \(x(2a-b+c)\).

6. Какие слагаемые называют подобными? Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых и поясните его на примере выражения \(5a-4a+a-6\).

№ 1

\(x+y=y+x\) — переместительное свойство сложения.

\((x+y)+z=x+(y+z)\) — сочетательное свойство сложения.

\(x(y+z)=xy+xz\) — распределительное свойство умножения.

\(x+0=x\).

\(x+(-x)=0\).

\(xy=yx\) — переместительное свойство умножения.

\((xy)z=x(yz)\) — сочетательное свойство умножения.

\(x\cdot1=x\).

\(x\cdot\frac{1}{x}=1\).

№ 2

а) \(-2a-c+3y=3y-2a-c\) — переместительное свойство сложения (перестановка слагаемых).

б) \(2a\cdot(-3c)=-6ac\) — переместительное свойство умножения (перестановка множителей).

в) \(5(x-y)=5x-5y\) — распределительное свойство умножения (умножение на сумму/разность).

№ 3

\(-7ab\): коэффициент \(-7\).

\(\frac{2}{3}x^2\): коэффициент \(\frac{2}{3}\).

\(mn\): коэффициент \(1\).

\(-xyz\): коэффициент \(-1\).

№ 4

Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму, надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое суммы: \(-4x+(2x-3y)=-4x+2x-3y=-2x-3y\).

Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму, надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы, взяв его с противоположным знаком: \(-4x-(2x-3y)=-4x-2x+3y=-6x+3y\).

№ 5

Раскрытие скобок в произведении можно произвести с помощью распределительного закона умножения: \(2x(3y-b+2c)=2x\cdot3y+2x\cdot(-b)+2x\cdot2c=6xy-2bx+4cx\).

№ 6

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно:
1) сгруппировать эти слагаемые
2) сложить их коэффициенты
3) умножить полученную сумму на их общую буквенную часть

\(5a-4a+a-6=(5-4+1)a-6=2a-6\).

№ 1

Переместительное свойство сложения говорит, что от перестановки слагаемых сумма не меняется: \(x+y=y+x\). Это значит, что можно менять местами любые два слагаемых и получать то же значение выражения, что удобно при упрощении и группировке.

Сочетательное свойство сложения показывает, что при сложении трёх (и более) чисел можно по-разному расставлять скобки, не меняя результата: \((x+y)+z=x+(y+z)\). То есть можно сначала сложить \(x\) и \(y\), а потом прибавить \(z\), или сначала сложить \(y\) и \(z\), а затем прибавить \(x\).

Распределительное свойство умножения связывает умножение и сложение: \(x(y+z)=xy+xz\). Это означает, что множитель \(x\) «распределяется» на каждое слагаемое в скобках: произведение на сумму равно сумме произведений, и это же верно для разности \(x(y-z)=xy-xz\).

Нейтральный элемент для сложения — ноль: \(x+0=x\). Прибавление нуля не изменяет число, поэтому ноль называют «нулём сложения». Противоположное число (аддитивная обратная) даёт ноль при сложении: \(x+(-x)=0\), то есть если к числу прибавить его противоположное, получаем ноль.

Переместительное свойство умножения говорит, что от перестановки множителей произведение не меняется: \(xy=yx\). Это позволяет менять порядок множителей так, чтобы было удобнее вычислять или преобразовывать выражение.

Сочетательное свойство умножения показывает, что при умножении трёх множителей можно по-разному ставить скобки без изменения результата: \((xy)z=x(yz)\). То есть можно сначала перемножить \(x\) и \(y\), а затем результат умножить на \(z\), или сначала перемножить \(y\) и \(z\), а потом умножить на \(x\).

Нейтральный элемент для умножения — единица: \(x\cdot1=x\). Умножение на 1 не изменяет число. Также для ненулевого \(x\) существует обратное число \(\frac{1}{x}\), и выполняется \(x\cdot\frac{1}{x}=1\) (здесь важно, что \(x\neq0\)).

№ 2

а) \(-2a-c+3y=3y-2a-c\) объясняется переместительным свойством сложения: можно переставлять слагаемые, не меняя суммы. В левой части слагаемые идут в порядке \(-2a\), затем \(-c\), затем \(+3y\); в правой части просто выполнена перестановка этих же слагаемых, поэтому значение выражения не изменилось.

б) \(2a\cdot(-3c)=-6ac\) получается по правилам умножения одночленов: перемножают числовые коэффициенты и буквенные множители. Здесь \(2\cdot(-3)=-6\), а \(a\cdot c=ac\), поэтому \(2a\cdot(-3c)=(2\cdot-3)(a\cdot c)=-6ac\). Перестановка множителей допустима по переместительному свойству умножения, поэтому записать можно как \(2\cdot(-3)\cdot a\cdot c\) в удобном порядке.

в) \(5(x-y)=5x-5y\) следует из распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания: множитель 5 умножает каждое слагаемое в скобках с сохранением знаков. Так как \(x-y\) — это сумма \(x+(-y)\), получаем \(5(x+(-y))=5x+5(-y)=5x-5y\).

№ 3

В произведении \(-7ab\) коэффициент — это числовой множитель при буквенной части \(ab\), поэтому коэффициент равен \(-7\). Буквенная часть здесь \(ab\), а число перед ней задаёт коэффициент.

В произведении \(\frac{2}{3}x^2\) числовой множитель равен \(\frac{2}{3}\), значит коэффициент равен \(\frac{2}{3}\). Буквенная часть — \(x^2\), степень записана как верхний индекс \(2\), и коэффициентом считается именно число \(\frac{2}{3}\).

В произведении \(mn\) явного числа перед буквами нет, но подразумевается множитель \(1\): \(mn=1\cdot mn\). Поэтому коэффициент равен \(1\), а буквенная часть равна \(mn\).

В произведении \(-xyz\) перед буквенной частью стоит знак «минус», что означает множитель \(-1\): \(-xyz=-1\cdot xyz\). Следовательно, коэффициент равен \(-1\), а буквенная часть равна \(xyz\).

№ 4

Если перед скобками стоит знак «+», то при раскрытии скобок знаки внутри скобок не меняются: \(A+(B-C)=A+B-C\). Это связано с тем, что прибавление суммы означает прибавление каждого её слагаемого в исходном виде.

На примере \(-4x+(2x-3y)\) раскрываем скобки без изменения знаков: \(-4x+2x-3y\). Затем приводим подобные: \(-4x+2x=-2x\), поэтому итог \(-2x-3y\).

Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок нужно поменять знаки у всех слагаемых внутри скобок на противоположные: \(A-(B-C)=A-B+C\). Это потому, что вычитание суммы равносильно прибавлению суммы, взятой с противоположными знаками.

На примере \(-4x-(2x-3y)\) меняем знаки внутри: \(-4x-2x+3y\). Далее складываем подобные по \(x\): \(-4x-2x=-6x\), поэтому получаем \(-6x+3y\).

№ 5

Раскрытие скобок в произведении выполняют по распределительному закону: если одночлен умножается на сумму (или разность), то он умножается на каждое слагаемое отдельно. Общее правило: \(k(p+q+r)=kp+kq+kr\), а если внутри есть вычитание, знак сохраняется как у соответствующего слагаемого: \(k(p-q)=kp-kq\).

В выражении \(2x(3y-b+2c)\) одночлен \(2x\) нужно умножить на каждое слагаемое в скобках: на \(3y\), на \(-b\) и на \(2c\). Поэтому получаем разложение \(2x\cdot3y+2x\cdot(-b)+2x\cdot2c\).

Дальше перемножаем: \(2x\cdot3y=6xy\) (коэффициенты \(2\cdot3=6\), буквы \(x\cdot y=xy\)); \(2x\cdot(-b)=-2bx\) (коэффициент \(2\cdot(-1)=-2\), буквенная часть \(x\cdot b=bx\)); \(2x\cdot2c=4cx\) (коэффициенты \(2\cdot2=4\), буквенная часть \(x\cdot c=cx\)). Итог: \(2x(3y-b+2c)=6xy-2bx+4cx\).

№ 6

Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью (одинаковые переменные в одинаковых степенях), например \(5a\), \(-4a\) и \(a\) подобны, потому что у всех буквенная часть \(a\). Числа (константы) тоже можно считать подобными между собой, потому что у них нет буквенной части.

Правило приведения подобных слагаемых: нужно сложить (или вычесть) их коэффициенты, а общую буквенную часть оставить прежней. Практически это делают так: сначала группируют подобные, затем выполняют действия с коэффициентами, и в конце записывают результат с той же буквенной частью.

В выражении \(5a-4a+a-6\) подобные слагаемые с \(a\) — это \(5a\), \(-4a\) и \(a\). Складываем их коэффициенты: \((5-4+1)a\), а число \(-6\) остаётся отдельно. Получаем \(5a-4a+a-6=(5-4+1)a-6=2a-6\).