ГДЗ по Алгебре 7 Класс Это надо знать глава 2 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Какие величины называют прямо пропорциональными? Приведите примеры прямо пропорциональных величин. Запишите общую формулу прямо пропорциональной зависимости.
2. Сформулируйте свойство прямо пропорциональных величин. Для зависимости пути от времени движения, рассмотренной в объяснительном тексте п. 2.2, назовите переменные величины, постоянную величину. Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных величин? Чему равен коэффициент пропорциональности?
3. Какие величины называют обратно пропорциональными? Приведите примеры обратно пропорциональных величин. Запишите общую формулу обратно пропорциональной зависимости.
4. Сформулируйте свойство обратно пропорциональных величин. Для зависимости времени движения от его скорости, рассмотренной в объяснительном тексте п. 2.2, назовите переменные величины, постоянную величину. Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин?
5. Дайте определение пропорции. Приведите пример пропорции и назовите её крайние и средние члены.
6. Сформулируйте основное свойство пропорции. Как найти неизвестный член пропорции \(\frac{a}{8}=\frac{5}{4}\) -57
7. Придумайте задачу на пропорциональное деление какой-либо величины.

№ 1

Прямо пропорциональными называются величины при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая также уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Пример: зависимость между количеством и стоимостью покупки.

Общая формула прямо пропорциональной зависимости \(y=kx\).

№ 2

Свойство прямо пропорциональных величин: если две величины прямо пропорциональны, то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности.

Переменные величины — время и путь, постоянная величина — скорость.

Отношение соответственных значений пропорциональных величин равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности, это скорость движения.

№ 3

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Пример: зависимость между временем движения и скоростью при постоянном расстоянии.

Общая формула обратной пропорциональности \(y=\frac{k}{x}\).

№ 4

Свойство обратно пропорциональных величин: если две величины обратно пропорциональны, то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу.

Переменные величины — скорость и время, постоянная величина — расстояние.

Произведение соответствующих значений обратно пропорциональных величин равно коэффициенту пропорциональности, это расстояние.

№ 5

Равенство двух отношений называют пропорцией: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\).

Пример пропорции: \(\frac{2}{7}=\frac{10}{35}\).

2 и 35 — крайние члены, 7 и 10 — средние члены.

№ 6

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

\(\frac{a}{8}=\frac{5}{4}\), тогда \(a=\frac{5\cdot 8}{4}=10\).

№ 7

Разделите 36 конфет между тремя детьми пропорционально числам 2, 3 и 7. Сколько конфет получит каждый?

№ 1

Прямо пропорциональными называют такие величины, которые изменяются «вместе одним и тем же множителем»: если одну величину увеличить в несколько раз, то и другая увеличится во столько же раз; если одну уменьшить в несколько раз, то и другая уменьшится во столько же раз. Это означает, что между ними сохраняется постоянное отношение соответствующих значений, то есть во сколько раз изменили первую величину, во столько же раз изменится и вторая.

Примером прямо пропорциональной связи служит зависимость стоимости покупки от количества товара при неизменной цене за единицу. Если цена одной единицы товара постоянна, то при увеличении количества покупаемого товара в 2 раза стоимость также увеличится в 2 раза; при уменьшении количества в 3 раза стоимость уменьшится в 3 раза. В такой ситуации «цена за единицу» выступает постоянным множителем.

Общая формула прямо пропорциональной зависимости записывается как \(y=kx\), где \(x\) и \(y\) — переменные величины, а \(k\) — коэффициент пропорциональности (постоянная величина). Смысл формулы в том, что значение \(y\) получается умножением \(x\) на одно и то же число \(k\) для всех соответствующих пар значений.

№ 2

Свойство прямо пропорциональных величин формулируется так: если две величины прямо пропорциональны, то отношение их соответствующих значений постоянно и равно одному и тому же числу — коэффициенту пропорциональности. Иначе говоря, для любых соответствующих значений \(x\) и \(y\) выполняется равенство \(\frac{y}{x}=k\), где \(k\) не меняется при изменении \(x\) и \(y\).

В зависимости пути от времени движения, рассмотренной в п. 2.2, переменные величины — время и путь: время меняется (может быть 1 час, 2 часа и т. д.), и путь тоже меняется. Постоянная величина — скорость, потому что в этой модели движения предполагается, что скорость не изменяется на протяжении всего времени движения.

Если обозначить путь через \(S\), время через \(t\), а скорость через \(v\), то связь выражается формулой \(S=vt\). Тогда отношение соответствующих значений пропорциональных величин равно \(\frac{S}{t}=v\). Следовательно, коэффициент пропорциональности в этой зависимости — скорость движения \(v\): он показывает, сколько единиц пути проходит тело за одну единицу времени.

№ 3

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. То есть они изменяются «в противоположных направлениях» так, что чем больше становится одна величина, тем меньше становится другая, и наоборот, но при этом связь между ними не случайная, а строго закономерная.

Пример: зависимость между временем движения и скоростью при постоянном расстоянии. Если расстояние фиксировано и увеличить скорость в 2 раза, то время, необходимое для прохождения того же расстояния, уменьшится в 2 раза. Если скорость уменьшить в 3 раза, то время увеличится в 3 раза, потому что медленнее проходить то же расстояние приходится дольше.

Общая формула обратной пропорциональности имеет вид \(y=\frac{k}{x}\). Здесь \(x\) и \(y\) — переменные величины, а \(k\) — постоянная величина (коэффициент пропорциональности). Формула показывает, что при росте \(x\) значение \(y\) уменьшается так, чтобы их произведение оставалось постоянным и равным \(k\).

№ 4

Свойство обратно пропорциональных величин: если две величины обратно пропорциональны, то произведение их соответствующих значений постоянно и равно одному и тому же числу. Это означает, что для любых соответствующих значений \(x\) и \(y\) выполняется \(xy=k\), где \(k\) — одно и то же число для всех пар значений.

Для зависимости времени движения от его скорости (при постоянном расстоянии), рассмотренной в п. 2.2, переменные величины — скорость и время: скорость может меняться, и тогда меняется время движения. Постоянная величина — расстояние, так как по условию рассматривается движение на одном и том же фиксированном расстоянии.

Если обозначить скорость через \(v\), время через \(t\), расстояние через \(S\), то имеем формулу \(S=vt\). Отсюда видно, что произведение соответствующих значений обратно пропорциональных величин равно \(vt=S\). Значит, постоянное произведение (коэффициент пропорциональности в этой ситуации) — это расстояние \(S\).

№ 5

Равенство двух отношений называют пропорцией: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). Это запись означает, что первое отношение (числа \(a\) к числу \(b\)) равно второму отношению (числа \(c\) к числу \(d\)). В пропорции важно, что сравниваются именно отношения, а не отдельные числа: пропорция фиксирует равенство дробей.

Пример пропорции: \(\frac{2}{7}=\frac{10}{35}\). Здесь левая дробь и правая дробь равны как числа: правая получается из левой умножением числителя и знаменателя на 5, то есть \(\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 5}{7\cdot 5}=\frac{10}{35}\). Это показывает, что оба отношения выражают одну и ту же долю.

Крайние члены пропорции — это первый и последний члены записи, то есть 2 и 35. Средние члены — те, что стоят «в середине» пропорции, то есть 7 и 10. В общем виде для \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) крайние члены — \(a\) и \(d\), а средние — \(b\) и \(c\).

№ 6

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Для пропорции \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) это выражается равенством \(ad=bc\). Это свойство позволяет находить неизвестный член пропорции, потому что переводит равенство дробей в равенство произведений.

В задаче дана пропорция \(\frac{a}{8}=\frac{5}{4}\). По основному свойству пропорции перемножаем крайние и средние члены: крайние — \(a\) и 4, средние — 8 и 5, значит получаем \(a\cdot 4=8\cdot 5\). Так мы избавились от дробей и получили простое уравнение на \(a\).

Далее находим \(a\): \(a=\frac{8\cdot 5}{4}=10\). Здесь сначала перемножили \(8\cdot 5=40\), затем разделили на 4 и получили \(10\). Итог: неизвестный член пропорции равен \(a=10\).

№ 7

Разделите 36 конфет между тремя детьми пропорционально числам 2, 3 и 7. Сколько конфет получит каждый?

Краткое решение: всего частей \(2+3+7=12\). Одна часть равна \(\frac{36}{12}=3\) конфеты.

Тогда первый получит \(2\cdot 3=6\) конфет, второй \(3\cdot 3=9\) конфет, третий \(7\cdot 3=21\) конфету. Проверка: \(6+9+21=36\).