ГДЗ по Алгебра 7 Класс Это надо уметь Глава 8 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Это надо уметь (обязательные результаты обучения)
Вынесите за скобки общий множитель (1–4).
1. \(9x^2 + 3x\).
2. \(2ab — ab^2\).

3. \(6xy + 3x^2y — 12xy^2\).

4. \(5a^4 — 10a^3 + 10a^2\).

Разложите на множители (5–8).
5. \(y(y — 1) + 2(y — 1)\).
6. \(ax — ay + 2x — 2y\).

7. \(x^2 — 64\).

8. \(9a^2 — 16b^2\).

Сократите дробь (9–12).
9. \(\frac{x^2 + 3x}{3a + ax}\).

10. \(\frac{b^2}{b^2 + bc}\).

11. \(\frac{2a + 4}{a^2 — 4}\).

12. \(\frac{x^2 — y^2}{x^2 — xy}\).

Выполните действия (13–16).
13. \((x — a)(x + a)\).
14. \((2p — 3n)(2p + 3n)\).

15. \((a + b)^2 — (a — b)(a + b)\).

16. \((x — 1)(x + 1) — x(x — 3)\).

Разложение многочленов на множители 251
Разложите на множители (17–20).
17. \(a^3 — 4a\).
18. \(ax^2 — ay^2\).

19. \(3a^2 — 6ab + 3b^2\).

20. \(ax^2 + 2ax + a\).

Решите уравнение (21–24).
21. \((x — 12)(3x + 9) = 0\).
22. \((x + 2)^2 = 0\).

23. \(x^2 + 7x = 0\).

24. \(x^2 — 25 = 0\).

№ 1.
Вынес общий множитель \(3x\):
\(9x^2 + 3x = 3x(3x + 1)\).

№ 2.
Вынес общий множитель \(ab\):
\(2ab — ab^2 = ab(2 — b)\).

№ 3.
Вынес общий множитель \(3xy\):
\(6xy + 3x^2y — 12xy^2 = 3xy(2 + x — 4y)\).

№ 4.
Вынес общий множитель \(5a^2\):
\(5a^4 — 10a^3 + 10a^2 = 5a^2(a^2 — 2a + 2)\).

№ 5.
Вынес общий множитель \((y-1)\):
\(y(y — 1) + 2(y — 1) = (y — 1)(y + 2)\).

№ 6.
Группировка и вынесение общих множителей:
\(ax — ay + 2x — 2y = a(x — y) + 2(x — y) = (x — y)(a + 2)\).

№ 7.
Разложение разности квадратов:
\(x^2 — 64 = (x — 8)(x + 8)\).

№ 8.
Разложение разности квадратов:
\(9a^2 — 16b^2 = (3a — 4b)(3a + 4b)\).

№ 9.
Сокращение дроби:
\(\frac{x^2 + 3x}{3a + ax} = \frac{x(x + 3)}{a(3 + x)} = \frac{x}{a}\).

№ 10.
Сокращение дроби:
\(\frac{b^2}{b^2 + bc} = \frac{b^2}{b(b + c)} = \frac{b}{b + c}\).

№ 11.
Разложение знаменателя и сокращение:
\(\frac{2a + 4}{a^2 — 4} = \frac{2(a + 2)}{(a — 2)(a + 2)} = \frac{2}{a — 2}\).

№ 12.
Сокращение дроби с разностью квадратов:
\(\frac{x^2 — y^2}{x^2 — xy} = \frac{(x — y)(x + y)}{x(x — y)} = \frac{x + y}{x}\).

№ 13.
Разложение разности квадратов:
\((x — a)(x + a) = x^2 — a^2\).

№ 14.
Разложение разности квадратов:
\((2p — 3n)(2p + 3n) = 4p^2 — 9n^2\).

№ 15.
Раскрытие скобок и упрощение:
\((a + b)^2 — (a — b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + b^2 = 2b^2 + 2ab\).

№ 16.
Раскрытие скобок и упрощение:
\((x — 1)(x + 1) — x(x — 3) = x^2 — 1 — x^2 + 3x = 3x — 1\).

№ 17.
Вынесение общего множителя и разложение разности квадратов:
\(a^3 — 4a = a(a^2 — 4) = a(a — 2)(a + 2)\).

№ 18.
Вынесение общего множителя и разложение разности квадратов:
\(ax^2 — ay^2 = a(x^2 — y^2) = a(x — y)(x + y)\).

№ 19.
Вынесение общего множителя и разложение полного квадрата:
\(3a^2 — 6ab + 3b^2 = 3(a^2 — 2ab + b^2) = 3(a — b)^2\).

№ 20.
Вынесение общего множителя и разложение полного квадрата:
\(ax^2 + 2ax + a = a(x^2 + 2x + 1) = a(x + 1)^2\).

№ 21.
Решение уравнения:
\((x — 12)(3x + 9) = 0\)
\(x — 12 = 0 \Rightarrow x = 12\)
\(3x + 9 = 0 \Rightarrow x = -3\)
Ответ: \(x = -3; \quad x = 12\).

№ 22.
Решение уравнения:
\((x + 2)^2 = 0\)
\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
Ответ: \(x = -2\).

№ 23.
Решение уравнения:
\(x^2 + 7x = 0\)
\(x(x + 7) = 0\)
\(x = 0; \quad x = -7\)
Ответ: \(x = -7; \quad x = 0\).

№ 24.
Решение уравнения:
\(x^2 — 25 = 0\)
\((x — 5)(x + 5) = 0\)
\(x = 5; \quad x = -5\)
Ответ: \(x = \pm 5\).

№ 1.
Для выражения \(9x^2 + 3x\) сначала нужно определить общий множитель, который содержится в обоих слагаемых. В данном случае это число 3 и переменная \(x\), так как \(9x^2 = 3 \cdot 3x^2\), а \(3x = 3 \cdot x\). Вынесение общего множителя означает, что мы переписываем выражение в виде произведения этого множителя на сумму оставшихся частей.
Таким образом, из первого слагаемого после вынесения \(3x\) остается \(3x\), а из второго — \(1\), так как \(3x = 3x \cdot 1\). В итоге получаем:
\(9x^2 + 3x = 3x(3x + 1)\).
Это упрощает выражение и позволяет легче работать с ним, например, при решении уравнений.

№ 2.
В выражении \(2ab — ab^2\) общим множителем является \(ab\), так как оба слагаемых содержат этот множитель. Вынесем \(ab\) за скобки, чтобы упростить выражение.
Первое слагаемое \(2ab\) при делении на \(ab\) даёт 2, а второе \(ab^2\) при делении на \(ab\) даёт \(b\). После вынесения получаем:
\(2ab — ab^2 = ab(2 — b)\).
Это преобразование помогает упростить выражение и выявить его структуру.

№ 3.
Рассмотрим выражение \(6xy + 3x^2y — 12xy^2\). Здесь можно увидеть, что каждое слагаемое содержит множитель \(3xy\). Чтобы вынести его за скобки, нужно разделить каждое слагаемое на \(3xy\).
Для первого слагаемого \(6xy\) результат будет \(2\), для второго \(3x^2y\) — \(x\), а для третьего \(-12xy^2\) — \(-4y\). Тогда выражение преобразуется в:
\(6xy + 3x^2y — 12xy^2 = 3xy(2 + x — 4y)\).
Такое представление удобно для дальнейших преобразований и анализа.

№ 4.
В выражении \(5a^4 — 10a^3 + 10a^2\) общий множитель — \(5a^2\), так как каждое слагаемое содержит этот множитель. Вынесем \(5a^2\) за скобки, разделив каждое слагаемое на него.
Для первого слагаемого \(5a^4\) после деления останется \(a^2\), для второго \(-10a^3\) — \(-2a\), для третьего \(10a^2\) — \(2\). В итоге получаем:
\(5a^4 — 10a^3 + 10a^2 = 5a^2(a^2 — 2a + 2)\).
Это упрощение облегчает работу с выражением и позволяет применять дальнейшие методы решения.

№ 5.
В выражении \(y(y — 1) + 2(y — 1)\) можно заметить, что множитель \((y — 1)\) повторяется в обеих частях. Вынесем его за скобки, чтобы упростить выражение.
Из первого слагаемого после вынесения останется \(y\), из второго — \(2\), так что получаем:
\(y(y — 1) + 2(y — 1) = (y — 1)(y + 2)\).
Это упрощение полезно для дальнейших вычислений и анализа.

№ 6.
В выражении \(ax — ay + 2x — 2y\) можно сгруппировать слагаемые для удобства. Сначала сгруппируем по парам: \(ax — ay\) и \(2x — 2y\).
В каждой группе вынесем общий множитель: из первой — \(a\), из второй — \(2\), получим:
\(a(x — y) + 2(x — y)\).
Теперь видим, что множитель \((x — y)\) общий для обеих частей, его можно вынести за скобки:
\((x — y)(a + 2)\).
Такое разложение упрощает выражение и облегчает дальнейшие действия.

№ 7.
Выражение \(x^2 — 64\) представляет собой разность квадратов, так как \(64 = 8^2\). Формула разности квадратов гласит, что:
\(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\).
Применяя её к нашему выражению, получаем:
\(x^2 — 64 = (x — 8)(x + 8)\).
Это разложение полезно для решения уравнений и упрощения выражений.

№ 8.
В выражении \(9a^2 — 16b^2\) также видна разность квадратов, так как \(9a^2 = (3a)^2\) и \(16b^2 = (4b)^2\). Используем формулу разности квадратов:
\(9a^2 — 16b^2 = (3a — 4b)(3a + 4b)\).
Такое разложение упрощает работу с выражением и помогает в решении задач.

№ 9.
Рассмотрим дробь \(\frac{x^2 + 3x}{3a + ax}\). В числителе вынесем общий множитель \(x\):
\(x^2 + 3x = x(x + 3)\).
В знаменателе также вынесем \(a\):
\(3a + ax = a(3 + x)\).
Тогда дробь принимает вид:
\(\frac{x(x + 3)}{a(3 + x)}\).
Поскольку \(x + 3 = 3 + x\), эти выражения равны, и можно сократить их, получив:
\(\frac{x}{a}\).
Таким образом, дробь упрощена.

№ 10.
В дроби \(\frac{b^2}{b^2 + bc}\) в знаменателе вынесем общий множитель \(b\):
\(b^2 + bc = b(b + c)\).
Тогда дробь перепишется как:
\(\frac{b^2}{b(b + c)}\).
Сократим \(b\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{b}{b + c}\).
Это упрощение облегчает работу с выражением.

№ 11.
Рассмотрим дробь \(\frac{2a + 4}{a^2 — 4}\). В числителе вынесем общий множитель 2:
\(2a + 4 = 2(a + 2)\).
В знаменателе заметим разность квадратов:
\(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\).
Подставим эти выражения:
\(\frac{2(a + 2)}{(a — 2)(a + 2)}\).
Сократим \((a + 2)\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{2}{a — 2}\).
Таким образом, дробь упрощена.

№ 12.
В дроби \(\frac{x^2 — y^2}{x^2 — xy}\) в числителе видна разность квадратов:
\(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\).
В знаменателе вынесем общий множитель \(x\):
\(x^2 — xy = x(x — y)\).
Тогда дробь примет вид:
\(\frac{(x — y)(x + y)}{x(x — y)}\).
Сократим \((x — y)\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{x + y}{x}\).
Это упрощение облегчает дальнейшие вычисления.

№ 13.
Формула разложения произведения \((x — a)(x + a)\) равна разности квадратов:
\((x — a)(x + a) = x^2 — a^2\).
Это базовое тождество помогает быстро преобразовывать выражения.

№ 14.
Рассмотрим произведение \((2p — 3n)(2p + 3n)\). Это также разность квадратов:
\((2p)^2 — (3n)^2 = 4p^2 — 9n^2\).
Поэтому:
\((2p — 3n)(2p + 3n) = 4p^2 — 9n^2\).
Это упрощение удобно при решении задач.

№ 15.
В выражении \((a + b)^2 — (a — b)(a + b)\) сначала раскроем скобки.
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),
\((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\) (формула разности квадратов).
Подставим:
\(a^2 + 2ab + b^2 — (a^2 — b^2) = a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + b^2 = 2b^2 + 2ab\).
Таким образом, выражение упрощается до \(2b^2 + 2ab\).

№ 16.
Рассмотрим выражение \((x — 1)(x + 1) — x(x — 3)\).
Раскроем скобки:
\((x — 1)(x + 1) = x^2 — 1\) (разность квадратов),
\(x(x — 3) = x^2 — 3x\).
Подставим:
\(x^2 — 1 — (x^2 — 3x) = x^2 — 1 — x^2 + 3x = 3x — 1\).
Это упрощённое выражение.

№ 17.
В выражении \(a^3 — 4a\) вынесем общий множитель \(a\):
\(a^3 — 4a = a(a^2 — 4)\).
Далее заметим, что \(a^2 — 4\) — разность квадратов:
\(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\).
Итоговое разложение:
\(a^3 — 4a = a(a — 2)(a + 2)\).
Это полезно для решения уравнений и упрощения.

№ 18.
В выражении \(ax^2 — ay^2\) вынесем общий множитель \(a\):
\(ax^2 — ay^2 = a(x^2 — y^2)\).
Затем используем формулу разности квадратов:
\(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\).
Итог:
\(ax^2 — ay^2 = a(x — y)(x + y)\).
Это разложение упрощает выражение.

№ 19.
В выражении \(3a^2 — 6ab + 3b^2\) вынесем общий множитель \(3\):
\(3a^2 — 6ab + 3b^2 = 3(a^2 — 2ab + b^2)\).
В скобках — полный квадрат:
\(a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2\).
Итоговое разложение:
\(3a^2 — 6ab + 3b^2 = 3(a — b)^2\).
Это позволяет упростить выражение.

№ 20.
В выражении \(ax^2 + 2ax + a\) вынесем общий множитель \(a\):
\(ax^2 + 2ax + a = a(x^2 + 2x + 1)\).
В скобках — полный квадрат:
\(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\).
Итог:
\(ax^2 + 2ax + a = a(x + 1)^2\).
Это разложение удобно для дальнейших вычислений.

№ 21.
Решим уравнение \((x — 12)(3x + 9) = 0\).
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
Первый множитель:
\(x — 12 = 0 \Rightarrow x = 12\).
Второй множитель:
\(3x + 9 = 0 \Rightarrow 3x = -9 \Rightarrow x = -3\).
Ответ:
\(x = -3; \quad x = 12\).
Это решение учитывает все корни уравнения.

№ 22.
Решим уравнение \((x + 2)^2 = 0\).
Если квадрат равен нулю, значит выражение под квадратом равно нулю:
\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\).
Ответ:
\(x = -2\).
Уравнение имеет один корень с кратностью 2.

№ 23.
Решим уравнение \(x^2 + 7x = 0\).
Вынесем общий множитель \(x\):
\(x(x + 7) = 0\).
Произведение равно нулю, значит:
\(x = 0\) или \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\).
Ответ:
\(x = -7; \quad x = 0\).
Уравнение имеет два корня.

№ 24.
Решим уравнение \(x^2 — 25 = 0\).
Это разность квадратов:
\((x — 5)(x + 5) = 0\).
Значит:
\(x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5\),
\(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\).
Ответ:
\(x = \pm 5\).
Уравнение имеет два корня, равных по модулю и противоположных по знаку.