ГДЗ по Алгебра 7 Класс Это надо уметь Глава 7 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Найдите значение выражения:
а) \(1,5x — 2y\) при \(x = \frac{1}{3}, y = 0,3\);
б) \(0,5x^3\) при \(x = -2\);
в) \(3x^2 — 5x + 4\) при \(x = -1\);
г) \(-0,4x^3 + 2,5y\) при \(x = -5, y = -8\).

2. Представьте в виде многочлена:
а) \((6x^2 — 2x) + (5 + 10x — 5x^2)\);
б) \((6xy + 8y) — (2xy + 8y — 1)\).

3. Представьте выражение \(2ab — b^2 + a^2b — 6b\) в виде суммы и в виде разности двух двучленов.

4. Представьте в виде многочлена произведение \(4b^3(2b^2 — 3b — 2)\).

5. Упростите выражение:
а) \(3a(a — 2) — 2a(a — 3)\);
б) \(5b(b — c) + c(2b — c)\).

6. Представьте в виде многочлена:
а) \((2x + 5)(4 + 3x)\);
б) \((1 — a)(5a + 6)\);
в) \((2x — y)(3y — 4x)\).

7. Упростите выражение:
а) \(2a(3a — 5) — (a — 3)(a — 7)\);
б) \((c + 3)(5 — c) — 3c(1 — c)\).

8. Представьте в виде многочлена:
а) \((3a + 4)^2\);
б) \((2a — 3b)^2\).

9. Упростите выражение:
а) \((a — b)^2 — a(a + 2b)\);
б) \(4c(c — 2) — (c — 4)^2\).

10. Представьте в виде квадрата двучлена:
а) \(4 — 4a + a^2\);
б) \(9a^2 — 6ab + b^2\).

11. Решите уравнение:
а) \(10 — 3(5x — 1,5) = 2,5 — 5x\);
б) \(2(3x — 4) = 5x — 3(x + 1)\).

12. Из пункта \(A\) в пункт \(B\), расстояние между которыми 26 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из пункта \(B\) в пункт \(A\) выехал мотоциклист со скоростью, на 28 км/ч большей скорости велосипедиста. Они встретились через 0,5 ч. Найдите скорость мотоциклиста. На каком расстоянии от пункта \(A\) произошла встреча?

13. Площадь прямоугольника равна площади квадрата. Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, а другая на 3 см больше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата.

№ 1
а) \(1,5x — 2y\), при \(x = \frac{1}{3}, y = 0,3\)
\(1,5 \cdot \frac{1}{3} — 2 \cdot 0,3 = 0,5 — 0,6 = -0,1\)

б) \(0,5x^3\), при \(x = -2\)
\(0,5 \cdot (-2)^3 = 0,5 \cdot (-8) = -4\)

в) \(3x^2 — 5x + 4\), при \(x = -1\)
\(3 \cdot (-1)^2 — 5 \cdot (-1) + 4 = 3 + 5 + 4 = 12\)

г) \(-0,4x^3 + 2,5y\), при \(x = -5, y = -8\)
\(-0,4 \cdot (-5)^3 + 2,5 \cdot (-8) = -0,4 \cdot (-125) — 20 = 50 — 20 = 30\)

№ 2
а) \((6x^2 — 2x) + (5 + 10x — 5x^2) = 6x^2 — 2x + 5 + 10x — 5x^2 = x^2 + 8x + 5\)

б) \((6xy + 8y) — (2xy + 8y — 1) = 6xy + 8y — 2xy — 8y + 1 = 4xy + 1\)

№ 3
\(2ab — b^2 + a^2b — 6b = (2ab — b^2) + (a^2b — 6b) = (2ab — b^2) — 2(-a^2b + 6b)\)

№ 4
\(4b^3(2b^2 — 3b — 2) = 4b^3 \cdot 2b^2 — 4b^3 \cdot 3b — 4b^3 \cdot 2 = 8b^5 — 12b^4 — 8b^3\)

№ 5
а) \(3a(a — 2) — 2a(a — 3) = 3a \cdot a — 3a \cdot 2 — 2a \cdot a + 2a \cdot 3 =\)
\(= 3a^2 — 6a — 2a^2 + 6a = a^2\)

б) \(5b(b — c) + c(2b — c) = 5b \cdot b — 5b \cdot c + c \cdot 2b — c \cdot c =\)
\(= 5b^2 — 5bc + 2bc — c^2 = 5b^2 — 3bc — c^2\)

№ 6
а) \((2x + 5)(4 + 3x) = 2x \cdot 4 + 5 \cdot 4 + 2x \cdot 3x + 5 \cdot 3x =\)
\(= 8x + 20 + 6x^2 + 15x = 6x^2 + 23x + 20\)

б) \((1 — a)(5a + 6) = 1 \cdot 5a — a \cdot 5a + 1 \cdot 6 — a \cdot 6 = 5a — 5a^2 + 6 — 6a =\)
\(= -5a^2 — a + 6\)

в) \((2x — y)(3y — 4x) = 2x \cdot 3y — y \cdot 3y — 2x \cdot 4x + y \cdot 4x =\)
\(= 6xy — 3y^2 — 8x^2 + 4xy = 10xy — 3y^2 — 8x^2\)

№ 7
а) \(2a(3a — 5) — (a — 3)(a — 7) =\)
\(= 2a \cdot 3a — 2a \cdot 5 — (a \cdot a — 3a — 7a + 3 \cdot 7) =\)
\(= 6a^2 — 10a — (a^2 — 10a + 21) = 6a^2 — 10a — a^2 + 10a — 21 = 5a^2 — 21\)

б) \((c + 3)(5 — c) — 3c(1 — c) = c \cdot 5 + 3 \cdot 5 — c \cdot c — 3 \cdot c — 3c \cdot 1 + 3c \cdot c =\)
\(= 5c + 15 — c^2 — 3c — 3c + 3c^2 = 2c^2 — c + 15\)

№ 8
а) \((3a + 4)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 4 + 4^2 = 9a^2 + 24a + 16\)

б) \((2a — 3b)^2 = (2a)^2 — 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 — 12ab + 9b^2\)

№ 9
а) \((a — b)^2 — a(a + 2b) = a^2 — 2ab + b^2 — a^2 — 2ab = b^2 — 4ab\)

б) \(4c(c — 2) — (c — 4)^2 = 4c^2 — 8c — (c^2 — 8c + 16) =\)
\(= 4c^2 — 8c — c^2 + 8c — 16 = 3c^2 — 16\)

№ 10
а) \(4 — 4a + a^2 = 2^2 — 2 \cdot 2 \cdot a + a^2 = (2 — a)^2\)

б) \(9a^2 — 6ab + b^2 = (3a)^2 — 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = (3a — b)^2\)

№ 11
а) \(10 — 3(5x — 1,5) = 2,5 — 5x\)
\(10 — 15x + 4,5 = 2,5 — 5x\)
\(-15x + 5x = 2,5 — 10 — 4,5\)
\(-10x = -12\)
\(x = 1,2\)

б) \(2(3x — 4) = 5x — 3(x + 1)\)
\(6x — 8 = 5x — 3x — 3\)
\(6x — 5x + 3x = -3 + 8\)
\(4x = 5\)
\(x = \frac{5}{4} = 1,25\)

№ 12
Пусть \(x\) км/ч — скорость велосипедиста, тогда \(x + 28\) км/ч — скорость мотоциклиста.
Велосипедист проехал \(0,5x\) км, мотоциклист — \(0,5(x + 28)\) км.
Составляем уравнение:
\(0,5x + 0,5(x + 28) = 26\)
\(0,5x + 0,5x + 14 = 26\)
\(x + 14 = 26\)
\(x = 12\) км/ч — скорость велосипедиста.
Скорость мотоциклиста: \(12 + 28 = 40\) км/ч.
Расстояние от пункта А до встречи: \(12 \cdot 0,5 = 6\) км.

Ответ: 40 км/ч; 6 км

№ 13
Пусть \(x\) см — сторона квадрата, площадь квадрата \(x^2\) см².
Ширина прямоугольника \(x — 2\) см, длина \(x + 3\) см.
Площадь прямоугольника \((x — 2)(x + 3)\) см².
Так как площади равны, составляем уравнение:
\(x^2 = (x — 2)(x + 3)\)
\(x^2 = x^2 — 2x + 3x — 6\)
\(2x — 3x = -6\)
\(-x = -6\)
\(x = 6\) см — сторона квадрата.
Площадь квадрата: \(6 \cdot 6 = 36\) см².

Ответ: 36 см²

№ 1
а) Рассмотрим выражение \(1,5x — 2y\) при значениях \(x = \frac{1}{3}\) и \(y = 0,3\). Сначала подставим данные значения в выражение:
\(1,5 \cdot \frac{1}{3} — 2 \cdot 0,3\).
Выполним умножение: \(1,5 \cdot \frac{1}{3} = 0,5\), а \(2 \cdot 0,3 = 0,6\).
Теперь вычтем: \(0,5 — 0,6 = -0,1\).
Таким образом, при заданных значениях переменных выражение принимает значение \(-0,1\).

б) Рассмотрим выражение \(0,5x^3\) при \(x = -2\).
Подставим значение \(x\): \(0,5 \cdot (-2)^3\).
Вычислим степень: \((-2)^3 = -8\), так как возводим отрицательное число в нечетную степень.
Теперь умножим: \(0,5 \cdot (-8) = -4\).
Следовательно, значение выражения равно \(-4\).

в) Рассмотрим выражение \(3x^2 — 5x + 4\) при \(x = -1\).
Подставим: \(3 \cdot (-1)^2 — 5 \cdot (-1) + 4\).
Вычислим степень: \((-1)^2 = 1\), так как возводим в четную степень.
Тогда: \(3 \cdot 1 — 5 \cdot (-1) + 4 = 3 + 5 + 4\).
Сложим числа: \(3 + 5 = 8\), \(8 + 4 = 12\).
Итоговое значение выражения равно \(12\).

г) Рассмотрим выражение \(-0,4x^3 + 2,5y\) при \(x = -5\) и \(y = -8\).
Подставим значения: \(-0,4 \cdot (-5)^3 + 2,5 \cdot (-8)\).
Вычислим степень: \((-5)^3 = -125\).
Умножим: \(-0,4 \cdot (-125) = 50\), так как минус на минус даёт плюс.
Второй член: \(2,5 \cdot (-8) = -20\).
Сложим: \(50 — 20 = 30\).
Значение выражения равно \(30\).

№ 2
а) Рассмотрим сумму многочленов \((6x^2 — 2x) + (5 + 10x — 5x^2)\).
Сначала раскроем скобки, просто переписывая слагаемые:
\(6x^2 — 2x + 5 + 10x — 5x^2\).
Теперь сгруппируем подобные члены. Для этого выделим члены с \(x^2\), с \(x\) и свободные:
\(6x^2 — 5x^2\) — это \(x^2\),
\(-2x + 10x = 8x\),
и свободный член \(5\).
Таким образом, сумма равна \(x^2 + 8x + 5\).

б) Рассмотрим разность: \((6xy + 8y) — (2xy + 8y — 1)\).
Сначала раскроем скобки со знаком минус:
\(6xy + 8y — 2xy — 8y + 1\).
Теперь сгруппируем подобные члены:
\(6xy — 2xy = 4xy\),
\(8y — 8y = 0\),
и свободный член \(+1\).
Итог: \(4xy + 1\).

№ 3
Рассмотрим выражение \(2ab — b^2 + a^2b — 6b\).
Разобьём его на две группы: \((2ab — b^2)\) и \((a^2b — 6b)\).
В первой группе можно вынести \(b\) за скобки: \(b(2a — b)\).
Во второй группе также вынесем \(b\): \(b(a^2 — 6)\).
Таким образом, выражение можно переписать как \(b(2a — b) + b(a^2 — 6)\).
Объединим: \(b(2a — b + a^2 — 6)\).
Это упрощённая форма исходного выражения.

№ 4
Рассмотрим произведение \(4b^3(2b^2 — 3b — 2)\).
Раскроем скобки, умножая каждый член многочлена на \(4b^3\):
\(4b^3 \cdot 2b^2 = 8b^{3+2} = 8b^5\),
\(4b^3 \cdot (-3b) = -12b^{3+1} = -12b^4\),
\(4b^3 \cdot (-2) = -8b^3\).
Итоговое выражение: \(8b^5 — 12b^4 — 8b^3\).

№ 5
а) Рассмотрим выражение \(3a(a — 2) — 2a(a — 3)\).
Раскроем скобки:
\(3a \cdot a — 3a \cdot 2 — 2a \cdot a + 2a \cdot 3\).
Выполним умножение:
\(3a^2 — 6a — 2a^2 + 6a\).
Сложим подобные члены:
\(3a^2 — 2a^2 = a^2\),
\(-6a + 6a = 0\).
Итог: \(a^2\).

б) Рассмотрим выражение \(5b(b — c) + c(2b — c)\).
Раскроем скобки:
\(5b^2 — 5bc + 2bc — c^2\).
Сложим подобные члены:
\(-5bc + 2bc = -3bc\).
Итог: \(5b^2 — 3bc — c^2\).

№ 6
а) Рассмотрим произведение \((2x + 5)(4 + 3x)\).
Раскроем скобки, перемножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:
\(2x \cdot 4 = 8x\),
\(5 \cdot 4 = 20\),
\(2x \cdot 3x = 6x^2\),
\(5 \cdot 3x = 15x\).
Сложим подобные члены:
\(6x^2 + 8x + 15x + 20 = 6x^2 + 23x + 20\).

б) Рассмотрим произведение \((1 — a)(5a + 6)\).
Раскроем скобки:
\(1 \cdot 5a — a \cdot 5a + 1 \cdot 6 — a \cdot 6\).
Выполним умножение:
\(5a — 5a^2 + 6 — 6a\).
Сгруппируем:
\(-5a^2 + 5a — 6a + 6 = -5a^2 — a + 6\).

в) Рассмотрим произведение \((2x — y)(3y — 4x)\).
Раскроем скобки:
\(2x \cdot 3y = 6xy\),
\(-y \cdot 3y = -3y^2\),
\(2x \cdot (-4x) = -8x^2\),
\(-y \cdot (-4x) = 4xy\).
Сложим подобные члены:
\(6xy + 4xy = 10xy\).
Итог: \(10xy — 3y^2 — 8x^2\).

№ 7
а) Рассмотрим выражение \(2a(3a — 5) — (a — 3)(a — 7)\).
Раскроем скобки:
\(2a \cdot 3a — 2a \cdot 5 — (a^2 — 7a — 3a + 21)\).
Выполним умножение:
\(6a^2 — 10a — (a^2 — 10a + 21)\).
Раскроем скобки со знаком минус:
\(6a^2 — 10a — a^2 + 10a — 21\).
Сложим подобные члены:
\(6a^2 — a^2 = 5a^2\),
\(-10a + 10a = 0\).
Итог: \(5a^2 — 21\).

б) Рассмотрим выражение \((c + 3)(5 — c) — 3c(1 — c)\).
Раскроем скобки:
\(c \cdot 5 + 3 \cdot 5 — c \cdot c — 3 \cdot c — 3c \cdot 1 + 3c \cdot c\).
Выполним умножение:
\(5c + 15 — c^2 — 3c — 3c + 3c^2\).
Сгруппируем:
\(5c — 3c — 3c = -c\),
\(-c^2 + 3c^2 = 2c^2\).
Итог: \(2c^2 — c + 15\).

№ 8
а) Рассмотрим квадрат суммы \((3a + 4)^2\).
Используем формулу квадрата двучлена:
\((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 4 + 4^2\).
Вычислим степени и произведения:
\(9a^2 + 24a + 16\).

б) Рассмотрим квадрат разности \((2a — 3b)^2\).
Используем формулу:
\((2a)^2 — 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2\).
Вычислим:
\(4a^2 — 12ab + 9b^2\).

№ 9
а) Рассмотрим выражение \((a — b)^2 — a(a + 2b)\).
Раскроем квадрат:
\(a^2 — 2ab + b^2\).
Раскроем второе произведение:
\(a^2 + 2ab\).
Вычислим разность:
\(a^2 — 2ab + b^2 — a^2 — 2ab = b^2 — 4ab\).

б) Рассмотрим выражение \(4c(c — 2) — (c — 4)^2\).
Раскроем произведение:
\(4c^2 — 8c\).
Раскроем квадрат:
\(c^2 — 8c + 16\).
Вычислим разность:
\(4c^2 — 8c — c^2 + 8c — 16 = 3c^2 — 16\).

№ 10
а) Рассмотрим выражение \(4 — 4a + a^2\).
Запишем как квадрат двучлена:
\(2^2 — 2 \cdot 2 \cdot a + a^2 = (2 — a)^2\).

б) Рассмотрим выражение \(9a^2 — 6ab + b^2\).
Запишем как квадрат двучлена:
\((3a)^2 — 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = (3a — b)^2\).

№ 11
а) Решим уравнение \(10 — 3(5x — 1,5) = 2,5 — 5x\).
Раскроем скобки:
\(10 — 15x + 4,5 = 2,5 — 5x\).
Сложим свободные члены слева:
\(14,5 — 15x = 2,5 — 5x\).
Перенесём все с \(x\) влево, свободные вправо:
\(-15x + 5x = 2,5 — 14,5\).
Вычислим:
\(-10x = -12\).
Разделим на \(-10\):
\(x = \frac{-12}{-10} = 1,2\).

б) Решим уравнение \(2(3x — 4) = 5x — 3(x + 1)\).
Раскроем скобки:
\(6x — 8 = 5x — 3x — 3\).
Упростим правую часть:
\(6x — 8 = 2x — 3\).
Перенесём все с \(x\) влево, свободные вправо:
\(6x — 2x = -3 + 8\).
Вычислим:
\(4x = 5\).
Разделим на 4:
\(x = \frac{5}{4} = 1,25\).

№ 12
Пусть \(x\) км/ч — скорость велосипедиста. Тогда скорость мотоциклиста равна \(x + 28\) км/ч, так как она на 28 км/ч больше.
Велосипедист проезжает за полчаса расстояние \(0,5x\) км, а мотоциклист — \(0,5(x + 28)\) км.
Общее расстояние между пунктами равно 26 км, значит сумма пройденных расстояний равна 26:
\(0,5x + 0,5(x + 28) = 26\).
Раскроем скобки:
\(0,5x + 0,5x + 14 = 26\).
Сложим \(0,5x + 0,5x = x\):
\(x + 14 = 26\).
Вычислим \(x\):
\(x = 26 — 14 = 12\) км/ч — скорость велосипедиста.
Скорость мотоциклиста:
\(12 + 28 = 40\) км/ч.
Расстояние от пункта А до встречи:
\(12 \cdot 0,5 = 6\) км.

Ответ: скорость мотоциклиста 40 км/ч, расстояние до встречи 6 км.

№ 13
Пусть \(x\) см — длина стороны квадрата. Площадь квадрата равна \(x^2\) см².
Ширина прямоугольника равна \(x — 2\) см, а длина — \(x + 3\) см.
Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, то есть \((x — 2)(x + 3)\) см².
По условию площади равны, значит:
\(x^2 = (x — 2)(x + 3)\).
Раскроем скобки справа:
\(x^2 = x^2 — 2x + 3x — 6\).
Упростим правую часть:
\(x^2 = x^2 + x — 6\).
Вычислим разность:
\(x^2 — x^2 = x — 6\), то есть
\(0 = x — 6\).
Отсюда:
\(x = 6\) см — длина стороны квадрата.
Площадь квадрата:
\(6 \cdot 6 = 36\) см².

Ответ: площадь квадрата равна 36 см².