ГДЗ по Алгебра 7 Класс Это надо уметь Глава 6 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Выполните действие, воспользовавшись соответствующим свойством степени: а) \(a^5 \cdot a^3\); б) \(a^8 : a^5\); в) \((a^2)^4\); г) \((ab)^6\); д) \(\left(\frac{a}{b}\right)^3\).

2. Выполните действие: а) \(a^2 \cdot a^n\); б) \(a^n : a^2\); в) \((a^n)^2\).

3. Упростите выражение: а) \(x^4 \cdot (x^3)^2\); б) \(\frac{x^2 \cdot x^9}{x^5}\).

4. Вычислите: а) \(\frac{5^4 \cdot 5^5}{5^7}\); б) \(0,2^{10} \cdot 5^{10}\); в) \(\frac{10^6}{5^6}\); г) \(\frac{8^{20}}{2^{30}}\).

5. Упростите выражение: а) \(-3xy^3 \cdot 2xy^2\); б) \((-2a^2b)^3\); в) \((-x^3y^2)^4\).

6. Сократите дробь: а) \(\frac{c^5 \cdot x^2}{c^3 \cdot x}\); б) \(\frac{12a^3 c}{18 a^2 c^3}\).

7. Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр (все цифры в записи числа различны)?

8. Сколькими способами можно построить в ряд 5 человек?

№ 1
а) \(a^5 \cdot a^3 = a^{8}\);
б) \(a^8 : a^6 = a^{2}\);
в) \((a^2)^4 = a^{8}\);
г) \((ab)^6 = a^6 b^6\);
д) \(\left(\frac{a}{b}\right)^3 = \frac{a^3}{b^3}\).

№ 2
а) \(a^2 \cdot a^n = a^{2+n}\);
б) \(a^n : a^2 = a^{n-2}\);
в) \((a^n)^2 = a^{2n}\).

№ 3
а) \(x^4 \cdot (x^3)^2 = x^4 \cdot x^6 = x^{10}\);
б) \(\frac{x^2 \cdot x^9}{x^5} = \frac{x^{11}}{x^5} = x^{6}\).

№ 4
а) \(\frac{5^4 \cdot 5^5}{5^7} = \frac{5^9}{5^7} = 5^{2} = 25\);
б) \(0,2^{10} \cdot 5^{10} = (0,2 \cdot 5)^{10} = 1^{10} = 1\);
в) \(\frac{10^6}{5^6} = \left(\frac{10}{5}\right)^6 = 2^6 = 64\);
г) \(\frac{8^{20}}{2^{62}} = \frac{(2^3)^{20}}{2^{62}} = \frac{2^{60}}{2^{62}} = 2^{-2} = \frac{1}{4}\).

№ 5
а) \(-3xy^3 \cdot 2xy^2 = -3 \cdot 2 \cdot x^{2} y^{5} = -6x^{2} y^{5}\);
б) \((-2a^2 b)^3 = -8 a^{6} b^{3}\);
в) \((-x^3 y^2)^4 = x^{12} y^{8}\).

№ 6
а) \(\frac{c^5 \cdot x^2}{c^3 \cdot x} = c^{2} x\);
б) \(\frac{12 a^3 c}{18 a^2 c^3} = \frac{2 a}{3 c^{2}}\).

№ 7
Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9 — 5 цифр.
Всего трёхзначных чисел с разными нечётными цифрами: \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\).
Ответ: 60 чисел.

№ 8
Пять человек в ряд можно построить способами: \(5! = 120\).
Ответ: 120 способов.

№ 1
В первом пункте нужно применить свойства степеней, которые гласят, что при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются. В пункте а) перемножаем \(a^5\) и \(a^3\), складывая показатели: \(5 + 3 = 8\), получается \(a^8\). В пункте б) делим \(a^8\) на \(a^6\), вычитая показатели: \(8 — 6 = 2\), получается \(a^2\).

Далее в пункте в) степень степени возводится в степень, показатели перемножаются: \((a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8\). В пункте г) произведение в скобках возводится в степень: \((ab)^6 = a^6 b^6\), так как степень распространяется на каждый множитель. В пункте д) степень дроби равна степени числителя и знаменателя: \(\left(\frac{a}{b}\right)^3 = \frac{a^3}{b^3}\).

№ 2
Здесь используются те же свойства степеней. В пункте а) при умножении степеней с одинаковым основанием \(a^2 \cdot a^n\) складываем показатели: \(2 + n\). В пункте б) при делении \(a^n : a^2\) вычитаем показатели: \(n — 2\). В пункте в) степень степени возводится в степень, показатели умножаются: \((a^n)^2 = a^{2n}\).

№ 3
Упрощение выражений со степенями требует внимательности. В пункте а) \(x^4 \cdot (x^3)^2\) сначала возводим степень в степень: \((x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6\), затем перемножаем основания с одинаковой степенью: \(x^4 \cdot x^6 = x^{4+6} = x^{10}\). В пункте б) дробь \(\frac{x^2 \cdot x^9}{x^5}\) сначала перемножаем в числителе: \(x^{2+9} = x^{11}\), затем делим степени с одинаковым основанием, вычитая показатели: \(x^{11 — 5} = x^6\).

№ 4
Вычисления со степенями и числами. В пункте а) произведение степеней с одинаковым основанием в числителе: \(5^4 \cdot 5^5 = 5^{4+5} = 5^9\), делим на \(5^7\), вычитая показатели: \(5^{9-7} = 5^2 = 25\). В пункте б) \(0,2^{10} \cdot 5^{10}\) можно представить как \((0,2 \cdot 5)^{10} = 1^{10} = 1\). В пункте в) делим степени с одинаковым основанием: \(\frac{10^6}{5^6} = \left(\frac{10}{5}\right)^6 = 2^6 = 64\). В пункте г) \(8^{20} = (2^3)^{20} = 2^{60}\), делим на \(2^{62}\), получаем \(2^{60-62} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\).

№ 5
Упрощение выражений с переменными и степенями. В пункте а) перемножаем коэффициенты и переменные: \(-3xy^3 \cdot 2xy^2 = (-3 \cdot 2)(x^{1+1})(y^{3+2}) = -6 x^{2} y^{5}\). В пункте б) возводим произведение в степень: \((-2a^2 b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = -8 a^{6} b^{3}\). В пункте в) возводим степень в степень: \((-x^3 y^2)^4 = (-1)^4 \cdot x^{3 \cdot 4} \cdot y^{2 \cdot 4} = x^{12} y^{8}\).

№ 6
Сокращение дробей с переменными. В пункте а) \(\frac{c^5 \cdot x^2}{c^3 \cdot x} = c^{5-3} \cdot x^{2-1} = c^{2} x\). В пункте б) сокращаем коэффициенты и переменные: \(\frac{12 a^3 c}{18 a^2 c^3} = \frac{12}{18} \cdot a^{3-2} \cdot c^{1-3} = \frac{2}{3} a c^{-2} = \frac{2 a}{3 c^{2}}\).

№ 7
Для формирования трёхзначных чисел из нечётных цифр с разными цифрами сначала определяем количество нечётных цифр — их 5: 1, 3, 5, 7, 9. Первая цифра числа может быть любой из 5. Вторая цифра должна отличаться от первой, значит 4 варианта. Третья цифра должна отличаться от первых двух, значит 3 варианта. Количество таких чисел равно произведению: \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\).

№ 8
Построение ряда из 5 человек — это задача перестановок 5 элементов. Количество способов перестановок \(n\) элементов равно факториалу \(n!\). Для 5 человек это \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\). Значит, всего 120 способов построить 5 человек в ряд.