ГДЗ по Алгебра 7 Класс Это надо уметь Глава 3 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Упростите выражение:
a) \(y\cdot(-2a)\cdot(-3b)=6aby\);
б) \(2xy\cdot7xz=14x^{2}yz\);
в) \(5ab\cdot(-0,2b)=-ab^{2}\).

2. Приведите подобные слагаемые:
a) \(3x-x+7x-3x=6x\);
б) \(2b-a+4b-7a+7=6b-8a+7\).

3. Составьте выражение по условию задачи:
а) В одном ведре \(x\) л воды, в другом — на 3 л больше, а в третьем — на 4 л меньше, чем в первом. Сколько литров воды в трёх вёдрах? \(x+(x+3)+(x-4)=3x-1\).
б) Одна сторона прямоугольника \(l\) см, а другая — на \(m\) см больше. Чему равен периметр прямоугольника? \(2(l+(l+m))=4l+2m\).

4. Найдите значение выражения \(2a+3-1,5a+0,5\) при \(a=-3;0;4\).
\(a=-3:\ 2\); \(a=0:\ 3,5\); \(a=4:\ 5,5\).

5. Упростите выражение:
a) \(4a+(a+b)-(2a+3b)=3a-2b\);
б) \(2(x+3y)-3(3x-y)=-7x+9y\).

№ 1

а) \(y\cdot(-2a)\cdot(-3b)\): перемножаем числа \((-2)\cdot(-3)=6\), получаем \(6aby\).

б) \(2xy\cdot7xz\): перемножаем коэффициенты \(2\cdot7=14\) и одинаковые буквы \(x\cdot x=x^2\), получаем \(14x^2yz\).

в) \(5ab\cdot(-0,2b)\): \(5\cdot(-0,2)=-1\) и \(b\cdot b=b^2\), получаем \(-ab^2\).

№ 2

а) \(3x-x+7x-3x\): складываем коэффициенты \((3-1+7-3)x=6x\).

б) \(2b-a+4b-7a+7\): группируем подобные \((2b+4b)+(-a-7a)+7=6b-8a+7\).

№ 3

а) Ведра: \(x\), \(x+3\), \(x-4\). Складываем: \(x+(x+3)+(x-4)=3x-1\).

б) Стороны: \(l\) и \(l+m\). Периметр: \(P=2(l+(l+m))=4l+2m\) см.

№ 4

\(2a+3-1,5a+0,5\): приводим подобные \(2a-1,5a=0,5a\), \(3+0,5=3,5\), получаем \(0,5a+3,5\).

\(a=-3\): \(0,5\cdot(-3)+3,5=-1,5+3,5=2\).

\(a=0\): \(0,5\cdot0+3,5=3,5\).

\(a=4\): \(0,5\cdot4+3,5=2+3,5=5,5\).

№ 5

а) \(4a+(a+b)-(2a+3b)\): раскрываем скобки \(4a+a+b-2a-3b\), приводим подобные \(3a-2b\).

б) \(2(x+3y)-3(3x-y)\): раскрываем скобки \(2x+6y-9x+3y\), приводим подобные \(-7x+9y\).

№ 1

а) \(y\cdot(-2a)\cdot(-3b)\). Здесь произведение трёх множителей: буква \(y\), затем одночлен \(-2a\) и одночлен \(-3b\). Сначала перемножаем числовые коэффициенты: \((-2)\cdot(-3)=6\), потому что произведение двух отрицательных чисел положительное. Затем объединяем буквенные множители: \(y\cdot a\cdot b=aby\) (буквы просто записываются вместе, так как это умножение). Поэтому всё выражение упрощается до \(6aby\).

б) \(2xy\cdot7xz\). Это произведение двух одночленов. Перемножаем коэффициенты: \(2\cdot7=14\). Далее перемножаем буквенные части: \(xy\cdot xz=x\cdot y\cdot x\cdot z\). Две буквы \(x\) дают квадрат: \(x\cdot x=x^2\), а \(y\) и \(z\) остаются по одному разу. Получаем \(14x^2yz\). Важно, что степень \(2\) относится только к \(x\), то есть именно \(x^2\), а не ко всем буквам сразу.

в) \(5ab\cdot(-0,2b)\). Снова перемножаем отдельно числа и буквы. Числа: \(5\cdot(-0,2)=-1\), так как \(0,2\) — это \(2\) десятых, и \(5\cdot0,2=1\), а знак минус сохраняется: получается \(-1\). Буквы: \(ab\cdot b=a\cdot b\cdot b=a\cdot b^2\), потому что два множителя \(b\) дают степень \(b^2\). Итого \(-1\cdot a b^2=-ab^2\) (в записи коэффициент \(-1\) обычно не пишут, поэтому остаётся \(-ab^2\)).

№ 2

а) \(3x-x+7x-3x\). Все слагаемые — подобные, потому что в каждом стоит одна и та же буквенная часть \(x\). Значит, можно складывать и вычитать только коэффициенты при \(x\): \(3-1+7-3\). Считаем по порядку: \(3-1=2\), затем \(2+7=9\), затем \(9-3=6\). Получается \(6x\). То же самое можно показать через вынесение \(x\) за скобки: \((3-1+7-3)x=6x\).

б) \(2b-a+4b-7a+7\). Здесь есть разные виды слагаемых: с \(b\), с \(a\) и число \(7\). Подобные можно группировать: отдельно складываем \(b\)-слагаемые \(2b+4b\), отдельно \(a\)-слагаемые \(-a-7a\), и отдельно остаётся \(+7\). Получаем \((2b+4b)+(-a-7a)+7\). Теперь приводим подобные: \(2b+4b=6b\), а \(-a-7a=-8a\). Итоговое упрощение: \(6b-8a+7\). Здесь важно не перепутать знаки: оба \(a\)-слагаемых отрицательные, поэтому коэффициенты складываются как \(-1-7=-8\).

№ 3

а) По условию: в первом ведре \(x\) л. Во втором «на 3 л больше», значит во втором \(x+3\) л (к количеству первого ведра прибавляем \(3\)). В третьем «на 4 л меньше, чем в первом», значит в третьем \(x-4\) л (от \(x\) вычитаем \(4\)). Чтобы узнать, сколько воды всего в трёх вёдрах, складываем: \(x+(x+3)+(x-4)\).

Далее упрощаем сумму: раскрываем скобки, просто убирая их и сохраняя знаки: \(x+x+3+x-4\). Собираем подобные: \(x+x+x=3x\), а числа \(3-4=-1\). Получаем \(3x-1\). Значит, общее количество воды выражается как \(3x-1\) литров, где \(x\) — литры в первом ведре.

б) Одна сторона прямоугольника равна \(l\) см. Другая «на \(m\) см больше», значит она равна \(l+m\) см. Периметр прямоугольника — это сумма всех сторон: \(P=l+(l+m)+l+(l+m)\). Удобнее использовать формулу периметра: \(P=2(\text{длина}+\text{ширина})\), то есть \(P=2(l+(l+m))\).

Упрощаем: внутри скобок \(l+(l+m)=l+l+m=2l+m\). Тогда \(P=2(2l+m)\). Раскрываем скобки умножением: \(2\cdot2l=4l\), \(2\cdot m=2m\). Получаем \(P=4l+2m\) см. Здесь важно, что \(m\) прибавляется только один раз внутри суммы двух разных сторон, а затем всё удваивается, потому что каждая из сторон встречается дважды.

№ 4

Дано выражение \(2a+3-1,5a+0,5\). Чтобы упростить, приводим подобные: отдельно собираем слагаемые с \(a\) и отдельно числа. Слагаемые с \(a\): \(2a-1,5a=(2-1,5)a=0,5a\). Числа: \(3+0,5=3,5\). Получаем упрощённый вид \(0,5a+3,5\).

Теперь подставляем значения \(a\). При \(a=-3\): \(0,5a+3,5=0,5\cdot(-3)+3,5\). Считаем \(0,5\cdot(-3)=-1,5\), затем \(-1,5+3,5=2\). Значение выражения равно \(2\).

При \(a=0\): \(0,5a+3,5=0,5\cdot0+3,5=0+3,5=3,5\). При \(a=4\): \(0,5a+3,5=0,5\cdot4+3,5=2+3,5=5,5\). Все результаты совпадают с тем, что получается после упрощения исходного выражения.

№ 5

а) \(4a+(a+b)-(2a+3b)\). Сначала убираем скобки. Перед первыми скобками стоит \(+\), значит знаки внутри не меняются: \(4a+a+b\). Перед вторыми скобками стоит минус, значит при раскрытии меняются знаки каждого слагаемого: \(-(2a+3b)=-2a-3b\). Получаем \(4a+a+b-2a-3b\).

Теперь приводим подобные: с \(a\): \(4a+a-2a=(4+1-2)a=3a\). С \(b\): \(b-3b=(1-3)b=-2b\). Итог: \(3a-2b\). Здесь ключевой момент — правильно сменить знаки во второй группе из-за минуса перед скобками.

б) \(2(x+3y)-3(3x-y)\). Раскрываем первую скобку умножением на \(2\): \(2(x+3y)=2x+6y\). Во второй части умножаем \((3x-y)\) на \(3\): \(3(3x-y)=9x-3y\). Но перед этим произведением стоит минус, поэтому вычитаем весь результат: \(-3(3x-y)=-(9x-3y)=-9x+3y\). Тогда всё выражение становится \(2x+6y-9x+3y\).

Собираем подобные: по \(x\): \(2x-9x=-7x\). По \(y\): \(6y+3y=9y\). Получаем \(-7x+9y\). Здесь важно не ошибиться в знаке у \(y\): из-за \(-3(3x-y)\) второй минус превращает \(-3y\) в \(+3y\).